TEOREMË Le të jetë r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩, ku funksionet koordinatore x(t), y(t) dhe z(t) janë të derivueshme në pikën t. Atëherë edhe funksioni vektorial r(t) është i derivueshëm në t dhe vlen barazimi: r’(t) = ⟨x’(t), y’(t), z’(t)⟩ Gjeni derivatin e funksionit vektorial: r(t) = ⟨sin(t²), e^(sin t), t ln(t)⟩

Hapi 1. Zbatojmë përkufizimin e derivatit të funksionit vektorial. r’(t) = lim kur h → 0 [r(t + h) − r(t)] / h Duke zëvendësuar funksionin vektorial, marrim: r’(t) = lim kur h → 0 {⟨x(t + h), y(t + h), z(t + h)⟩ − ⟨x(t), y(t), z(t)⟩} / h Duke kryer zbritjen e vektorëve, përfitojmë: r’(t) = lim kur h → 0 ⟨[x(t + h) − x(t)] / h, [y(t + h) − y(t)] / h, [z(t + h) − z(t)] / h⟩ Sipas përkufizimit të derivatit të secilit funksion përbërës, rezulton: r’(t) = ⟨x’(t), y’(t), z’(t)⟩ Hapi 2. Zbatojmë teoremën duke derivuar veçmas secilin funksion përbërës. Kemi: r(t) = ⟨sin(t²), e^(sin t), t ln(t)⟩ Prandaj: r’(t) = ⟨(sin(t²))’, (e^(sin t))’, (t ln(t))’⟩ Hapi 3. Gjejmë derivatin e secilit funksion përbërës. Për funksionin e parë, zbatojmë rregullin e zinxhirit: (sin(t²))’ = cos(t²) · 2t = 2t cos(t²) Për funksionin e dytë, zbatojmë përsëri rregullin e zinxhirit: (e^(sin t))’ = e^(sin t) · cos(t) Për funksionin e tretë, zbatojmë rregullin e derivimit të prodhimit: (t ln(t))’ = t’ · ln(t) + t · (ln(t))’ Meqë t’ = 1 dhe (ln(t))’ = 1/t, marrim: (t ln(t))’ = ln(t) + t · 1/t = ln(t) + 1 Hapi 4. Bashkojmë rezultatet. Duke zëvendësuar derivatet e gjetura, përfitojmë: r’(t) = ⟨2t cos(t²), e^(sin t) cos(t), ln(t) + 1⟩ PËRFUNDIMI Derivati i funksionit vektorial është: r’(t) = ⟨2t cos(t²), e^(sin t) cos(t), ln(t) + 1