Llogaritni integralin e dyfishtë: I = ∬_[1,2]×[0,π] y sin(xy) dxdy

Funksioni f(x,y) = y sin(xy) është i vazhdueshëm në drejtkëndëshin D = [1,2] × [0,π]. Prandaj, integrali i dyfishtë mund të shprehet si integral i përsëritur sipas dy renditjeve: I = ∫₁² dx ∫₀^π y sin(xy) dy ose I = ∫₀^π dy ∫₁² y sin(xy) dx Llogaritja sipas renditjes së parë Marrim: I = ∫₁² dx ∫₀^π y sin(xy) dy Integrali i brendshëm duhet të llogaritet me integrim me pjesë. Përdorim formulën: ∫u dv = uv − ∫v du Zgjedhim: u = y, dv = sin(xy) dy Atëherë: du = dy, v = −cos(xy)/x Zëvendësojmë në formulë: ∫₀^π y sin(xy) dy = [−y cos(xy)/x]₀^π + ∫₀^π cos(xy)/x dy Llogarisim integralin e mbetur: ∫₀^π cos(xy)/x dy = [sin(xy)/x²]₀^π Prandaj ∫₀^π y sin(xy) dy = −π cos(πx)/x + sin(πx)/x² Kështu: I = ∫₁² [−π cos(πx)/x + sin(πx)/x²] dx Ndajmë integralin në dy pjesë: I = −π ∫₁² cos(πx)/x dx + ∫₁² sin(πx)/x² dx Tani llogarisim integralin e parë me integrim me pjesë. Zgjedhim: u = −1/x, dv = π cos(πx) dx Atëherë: du = 1/x² dx, v = sin(πx) Sipas formulës së integrimit me pjesë: −π ∫₁² cos(πx)/x dx = [−sin(πx)/x]₁² − ∫₁² sin(πx)/x² dx Meqë sin(2π) = 0 dhe sin(π) = 0, kufiri i parë është zero. Prandaj: −π ∫₁² cos(πx)/x dx = −∫₁² sin(πx)/x² dx E zëvendësojmë këtë rezultat në integralin fillestar: I = −∫₁² sin(πx)/x² dx + ∫₁² sin(πx)/x² dx Dy integralet anulohen me njëri-tjetrin. Përfundimi I = 0