Llogaritni integralin e dyfishtë: I = ∬_[0,1]×[0,1] xy√(x² + 3y²) dxdy duke e kthyer në integral të përsëritur sipas dy renditjeve.

Meqë funksioni nën integral, f(x,y) = xy√(x² + 3y²), është i vazhdueshëm në D = [0,1] × [0,1], integrali i dyfishtë mund të kthehet në integral të përsëritur sipas dy renditjeve. Prandaj: I = ∫₀¹ dy ∫₀¹ xy√(x² + 3y²) dx ose I = ∫₀¹ dx ∫₀¹ xy√(x² + 3y²) dy 1. Llogaritja sipas renditjes së parë Marrim I₁ = ∫₀¹ dy ∫₀¹ xy√(x² + 3y²) dx Nxjerrim y jashtë integralit të brendshëm: I₁ = ∫₀¹ y dy ∫₀¹ x√(x² + 3y²) dx Përdorim zëvendësimin: u = x² + 3y² du = 2x dx Prandaj x dx = du/2 Atëherë I₁ = 1/2 ∫₀¹ y dy ∫₀¹ √(x² + 3y²) d(x² + 3y²) Duke integruar, marrim: I₁ = 1/3 ∫₀¹ y[(1 + 3y²)^(3/2) − (3y²)^(3/2)] dy Tani ndajmë integralin në dy pjesë: I₁ = 1/3 ∫₀¹ y(1 + 3y²)^(3/2) dy − 1/3 ∫₀¹ y(3y²)^(3/2) dy Për integralin e parë përdorim zëvendësimin: u = 1 + 3y² du = 6y dy Për integralin e dytë përdorim: v = 3y² dv = 6y dy Kështu: I₁ = 1/18 ∫₁⁴ u^(3/2) du − 1/18 ∫₀³ v^(3/2) dv Duke integruar: I₁ = 1/45 [u^(5/2)]₁⁴ − 1/45 [v^(5/2)]₀³ Zëvendësojmë kufijtë: I₁ = 1/45(4^(5/2) − 1) − 1/45(3^(5/2) − 0) Meqë 4^(5/2) = 32 3^(5/2) = 9√3 Përfundimisht: I₁ = 1/45(32 − 1) − 1/45(9√3) I₁ = (31 − 9√3)/45 2. Llogaritja sipas renditjes së dytë Marrim I₂ = ∫₀¹ dx ∫₀¹ xy√(x² + 3y²) dy Nxjerrim x jashtë integralit të brendshëm: I₂ = ∫₀¹ x dx ∫₀¹ y√(x² + 3y²) dy Përdorim zëvendësimin: u = x² + 3y² du = 6y dy Prandaj y dy = du/6 Atëherë: I₂ = 1/6 ∫₀¹ x dx ∫₀¹ √(x² + 3y²) d(x² + 3y²) Duke integruar: I₂ = 1/9 ∫₀¹ x[(x² + 3)^(3/2) − (x²)^(3/2)] dx Ndajmë integralin: I₂ = 1/9 ∫₀¹ x(x² + 3)^(3/2) dx − 1/9 ∫₀¹ x(x²)^(3/2) dx Përdorim zëvendësimet: u = x² + 3, du = 2x dx v = x², dv = 2x dx Prandaj: I₂ = 1/18 ∫₃⁴ u^(3/2) du − 1/18 ∫₀¹ v^(3/2) dv Duke integruar: I₂ = 1/45 [u^(5/2)]₃⁴ − 1/45 [v^(5/2)]₀¹ Zëvendësojmë kufijtë: I₂ = 1/45(32 − 9√3) − 1/45(1 − 0) I₂ = (31 − 9√3)/45 Përfundimi Të dyja renditjet japin të njëjtin rezultat: I = (31 − 9√3)/45