Të gjendet densiteti i ndryshores Y = X² në qoftë se ndryshorja e rastit X ka densitet p, dhe të tregohet se kur X ka shpërndarje normale N(0, 1), atëherë Y ka shpërndarje hi-katror me një shkallë lirie χ²(1).

Hapi 1. Në këtë rast funksioni është f(x) = x² dhe nuk është bijektiv në R, ndërsa bashkësia e vlerave të Y është R⁺ = [0, +∞). Për çdo 0 < a < b kemi: P(a < Y < b) = P(a < X² < b) = P((√a < X < √b) ∪ (−√b < X < −√a)) Hapi 2. Duke shprehur probabilitetin përmes integraleve të densitetit dhe duke kryer zëvendësimin e ndryshores, marrim: P(a < Y < b) = ∫[√a, √b] p(x) dx + ∫[−√b, −√a] p(x) dx = ∫[a, b] [p(√y) + p(−√y)] · 1/(2√y) dy Hapi 3. Rrjedhimisht, densiteti i Y është: q(y) = [p(√y) + p(−√y)]/(2√y), për y > 0, dhe 0 për y të tjerë. Hapi 4. Në rastin e veçantë, kur X ka shpërndarje normale N(0, 1), pas zëvendësimit dhe thjeshtimit, densiteti bëhet: q(y) = 1/(√(2π)√y) · e^(−y/2), për y > 0, dhe 0 për y të tjerë. Hapi 5. Duke krahasuar rezultatin me përkufizimin e shpërndarjes gama, konstatojmë se ndryshorja e rastit Y ka shpërndarje gama me parametra a = 1/2 dhe b = 1/2. Duke kujtuar se G(n/2, 1/2) = χ²(n), arrijmë në përfundimin se Y = X² ka shpërndarje hi-katror me një shkallë lirie χ²(1). Në qoftë se ndryshorja e rastit X ka shpërndarje normale N(0, 1), atëherë ndryshorja e rastit Y = X² ka shpërndarje hi-katror me një shkallë lirie χ²(1).