Të zgjidhet ekuacioni në varësi të parametrit m x² − (m + 1)x + m = 0

Hapi 1. Përcaktojmë llojin e ekuacionit. Ekuacioni i dhënë është i shkallës së dytë në lidhje me ndryshoren x, ndërsa m është një parametër real. Forma e përgjithshme është ax² + bx + c = 0 Në rastin tonë kemi a = 1 b = −(m + 1) c = m Meqë koeficienti i x² është 1, ekuacioni është i shkallës së dytë për çdo vlerë reale të m. Hapi 2. Zbërthejmë polinomin në faktorë. Duhet të zbërthejmë shprehjen: x² − (m + 1)x + m Vërejmë se (x − 1)(x − m) = x² − mx − x + m Duke bashkuar anëtarët që përmbajnë x, marrim x² − (m + 1)x + m Prandaj, zbërthimi është i saktë x² − (m + 1)x + m = (x − 1)(x − m) Ekuacioni bëhet (x − 1)(x − m) = 0 Hapi 3. Gjejmë rrënjët e ekuacionit. Sipas vetisë së prodhimit zero, kemi dy mundësi. Rasti i parë x − 1 = 0 x = 1 Rasti i dytë x − m = 0 x = m Pra, rrënjët janë x₁ = 1 x₂ = m Hapi 4. Studiojmë rastet sipas vlerës së parametrit m. Rasti i parë: m ≠ 1. Në këtë rast, vlerat 1 dhe m janë të ndryshme. Prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë reale të ndryshme: x₁ = 1, x₂ = m Rasti i dytë: m = 1. Zëvendësojmë m = 1 në ekuacionin fillestar x² − (1 + 1)x + 1 = 0 x² − 2x + 1 = 0 Ky ekuacion zbërthehet në (x − 1)² = 1 x = 1 Në këtë rast, ekuacioni ka një rrënjë të dyfishtë, x = 1. Hapi 5. Verifikojmë rezultatin. Nga zbërthimi (x − 1)(x − m) = 0 Nëse x = 1, faktori i parë bëhet zero. Nëse x = m, faktori i dytë bëhet zero. Prandaj, të dyja vlerat e gjetura e plotësojnë ekuacionin, ndërsa kur m = 1, ato përputhen dhe japin të njëjtën rrënjë të dyfishtë. Ekuacioni ka rrënjët x₁ = 1, x₂ = m Nëse m ≠ 1, ekuacioni ka dy rrënjë reale të ndryshme. Nëse m = 1, ekuacioni ka një rrënjë të dyfishtë: x = 1. Forma e zbërthyer e ekuacionit është:b(x − 1)(x − m) = 0