Të zgjidhet ekuacionicx³ − 3x² + 3x − 1 = 0

Hapi 1. Identifikojmë formën e polinomit. Ekuacioni i dhënë është x³ − 3x² + 3x − 1 = 0 Vërejmë se anëtarët e polinomit kanë një strukturë të veçantë. Kjo shprehje përputhet me formulën e kubit të diferencës së dy numrave. Formula përkatëse është (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ Hapi 2. Zbatojmë formulën e kubit të diferencës. Krahasojmë ekuacionin tonë me formulën. Kemi: a = x b = 1 Duke zëvendësuar këto vlera në formulë, marrim (x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1 Prandaj, ekuacioni fillestar shkruhet (x − 1)³ = 0 Hapi 3. Gjejmë zgjidhjen. Një fuqi është zero vetëm kur baza e saj është zero. (x − 1)³ = 0 x − 1 = 0 x = 1 Kjo është zgjidhja e ekuacionit. Hapi 4. Kuptojmë shumëfishësinë e rrënjës. Ekuacioni është shkruar në formën (x − 1)³ = 0 Faktori x − 1 paraqitet tri herë në prodhim: (x − 1)(x − 1)(x − 1) = 0 Për këtë arsye, x = 1 quhet rrënjë e shumëfishtë e rendit të tretë, ose rrënjë trefishe. Kjo nuk do të thotë se kemi tri vlera të ndryshme të x. Kemi vetëm një rrënjë të ndryshme, x = 1, e cila përsëritet tri herë. Hapi 5. Verifikojmë zgjidhjen. Zëvendësojmë x = 1 në ekuacionin fillestar: 1³ − 3 · 1² + 3 · 1 − 1 = 0 1 − 3 + 3 − 1 = 0 0 = 0 Barazimi është i vërtetë, prandaj zgjidhja është e saktë. Ekuacioni ka një rrënjë të ndryshme: x = 1 Kjo rrënjë është trefishe. Forma e zbërthyer e ekuacionit është (x − 1)³ = 0