Të zgjidhet ekuacioni x⁴ − 5x² + 4 = 0

Hapi 1. Vërejmë formën e ekuacionit. Ekuacioni përmban fuqitë x⁴ dhe x², por nuk përmban termin me x dhe as termin konstant të panjohur. Për këtë arsye, mund ta zgjidhim me zëvendësim. Vendosim t = x² Atëherë x⁴ = (x²)² = t² Ekuacioni fillestar shndërrohet në t² − 5t + 4 = 0 Hapi 2. Zgjidhim ekuacionin në lidhje me t. Kërkojmë dy numra që kanë shumën −5 dhe prodhimin 4. Këta numra janë −1 dhe −4, sepse: −1 + (−4) = −5 (−1) · (−4) = 4 Prandaj, ekuacioni zbërthehet në faktorë: t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4) Kështu kemi (t − 1)(t − 4) = 0 Hapi 3. Gjejmë vlerat e t. Nga faktori i parë: t − 1 = 0 t = 1 Nga faktori i dytë: t − 4 = 0 t = 4 Pra, kemi dy mundësi: t = 1 ose t = 4. Hapi 4. Kthehemi te ndryshorja x. Meqë vendosëm t = x², zëvendësojmë vlerat e gjetura. Rasti i parë x² = 1 Marrim rrënjën katrore në të dy anët x = ±1 x = −1 ose x = 1. Rasti i dytë x² = 4 Marrim rrënjën katrore në të dy anët x = ±2 x = −2 ose x = 2. Shenja ± tregon se një numër pozitiv ka dy rrënjë katrore reale: një pozitive dhe një negative. Hapi 5. Verifikojmë zgjidhjet. Për x = 1 dhe x = −1 kemi x² = 1 dhe x⁴ = 1. Prandaj 1 − 5 · 1 + 4 = 0 Për x = 2 dhe x = −2 kemi x² = 4 dhe x⁴ = 16. Prandaj 16 − 5 · 4 + 4 = 16 − 20 + 4 = 0 Të katër zgjidhjet e plotësojnë ekuacionin. Zgjidhjet reale janë x₁ = −2, x₂ = −1, x₃ = 1, x₄ = 2 Ekuacioni mund të shkruhet edhe në formën e zbërthyer (x² − 1)(x² − 4) = 0