Të zgjidhet ekuacioni x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

Hapi 1. Kontrollojmë nëse x = 1 është rrënjë e ekuacionit. Zëvendësojmë x me 1 në ekuacionin e dhënë 1³ − 6 · 1² + 11 · 1 − 6 = 0 Kryejmë veprimet: 1 − 6 + 11 − 6 = 0 0 = 0 Barazimi është i vërtetë, prandaj x = 1 është rrënjë e ekuacionit. Kjo do të thotë se polinomi pjesëtohet pa mbetje me x − 1. Hapi 2. Pjesëtojmë polinomin me x − 1. Polinomi fillestar është x³ − 6x² + 11x − 6 Pjesëtimin mund ta kryejmë me skemën e Hornerit, duke përdorur rrënjën 1 dhe koeficientët 1, −6, 11, −6. Zbresim koeficientin e parë: 1. Shumëzojmë 1 · 1 = 1 dhe e mbledhim me −6. Marrim −5. Shumëzojmë 1 · (−5) = −5 dhe e mbledhim me 11. Marrim 6. Shumëzojmë 1 · 6 = 6 dhe e mbledhim me −6. Marrim 0. Mbetja është zero, ndërsa herësi është x² − 5x + 6 Prandaj, ekuacioni shkruhet: (x − 1)(x² − 5x + 6) = 0 Hapi 3. Zgjidhim ekuacionin e shkallës së dytë. Duhet të zbërthejmë shprehjen: x² − 5x + 6 Kërkojmë dy numra që kanë shumën 5 dhe prodhimin 6. Këta numra janë 2 dhe 3, sepse: 2 + 3 = 5 2 · 3 = 6 Prandaj x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) Ekuacioni bëhet (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 Hapi 4. Gjejmë rrënjët e ekuacionit. Një prodhim është zero kur të paktën njëri prej faktorëve është zero. Pra, kemi tri mundësi: x − 1 = 0 → x = 1 x − 2 = 0 → x = 2 x − 3 = 0 → x = 3 Hapi 5. Verifikimi i zgjidhjeve. Për x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0 Për x = 2: 8 − 24 + 22 − 6 = 0 Për x = 3: 27 − 54 + 33 − 6 = 0 Të tri zëvendësimet japin zero, prandaj të gjitha zgjidhjet janë të sakta. Përfundimi Rrënjët e ekuacionit janë: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3 Ekuacioni i zbërthyer është: (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0