Le të jetë dhënë funksioni f(x,t), i përcaktuar për (x,t) në një zonë të planit. Nëse, për çdo t në një bashkësi T, ekziston integralicq(t) = ∫[a,b] f(x,t) dx atëherë q(t) quhet funksion integral parametrik, ndërsa t quhet parametër. Të llogaritet integrali φ(t) = ∫[0,1] x^t dx Për t ≠ -1, marrim φ(t) = [x^(t+1)/(t+1)] nga 0 në 1 φ(t) = 1/(t+1) Pra, φ(t) = 1/(t+1), për t > -1.

TEOREMA E VAZHDUESHMËRISË Teoremë: Nëse funksioni f(x,t) është i vazhdueshëm në drejtkëndëshin [a,b] × [α,β], atëherë funksioni: q(t) = ∫[a,b] f(x,t) dx është i vazhdueshëm në intervalin [α,β]. Vërtetimi: Meqenëse f(x,t) është i vazhdueshëm në një zonë të mbyllur dhe të kufizuar, ai është edhe njëtrajtësisht i vazhdueshëm. Për çdo ε > 0, ekziston një δ > 0, e tillë që, kur |t - t’| < δ, kemi: |f(x,t) - f(x,t’)| < ε/(b-a) Për funksionin integral parametrik kemi: q(t) - q(t’) = ∫[a,b] [f(x,t) - f(x,t’)] dx Prandaj: |q(t) - q(t’)| ≤ ∫[a,b] |f(x,t) - f(x,t’)| dx |q(t) - q(t’)| < ∫[a,b] ε/(b-a) dx |q(t) - q(t’)| < ε Pra, për çdo ε > 0, ekziston një δ > 0, e tillë që: |t - t’| < δ sjell |q(t) - q(t’)| < ε. Kjo provon se q(t) është njëtrajtësisht i vazhdueshëm dhe, rrjedhimisht, i vazhdueshëm në [α,β]. 4. TEOREMA E DERIVUESHMËRISË Teoremë: Nëse funksionet f(x,t) dhe derivati i pjesshëm ∂f(x,t)/∂t janë të vazhdueshëm në [a,b] × [α,β], atëherë funksioni: q(t) = ∫[a,b] f(x,t) dx është i derivueshëm dhe derivati i tij jepet nga formula: q’(t) = ∫[a,b] ∂f(x,t)/∂t dx Pra, derivimi mund të kryhet brenda shenjës së integralit. Vërtetimi Marrim një pikë të çfarëdoshme t₀ në [α,β] dhe përcaktojmë funksionin: h(x,t) = [f(x,t) - f(x,t₀)]/(t - t₀), për t ≠ t₀ h(x,t₀) = ∂f(x,t₀)/∂t Nga kushtet e teoremës, funksioni h(x,t) është i vazhdueshëm. Përcaktojmë: A(t) = ∫[a,b] h(x,t) dx Sipas teoremës së vazhdueshmërisë së integralit parametrik, A(t) është i vazhdueshëm në t₀. Për t ≠ t₀, kemi: A(t) = ∫[a,b] [f(x,t) - f(x,t₀)]/(t - t₀) dx A(t) = [q(t) - q(t₀)]/(t - t₀) Duke kaluar në kufi për t → t₀, marrim: q’(t₀) = lim(t→t₀) [q(t) - q(t₀)]/(t - t₀) q’(t₀) = A(t₀) Prandaj q’(t₀) = ∫[a,b] ∂f(x,t₀)/∂t dx Meqenëse t₀ është pikë e çfarëdoshme, përfundimisht kemi: q’(t) = ∫[a,b] ∂f(x,t)/∂t dx 5. TEOREMA E INTEGRUESHMËRISË Teoremë: Nëse f(x,t) është i vazhdueshëm në drejtkëndëshin [a,b] × [α,β], atëherë funksioni: q(t) = ∫[a,b] f(x,t) dx është i integrueshëm dhe vlen barazimi: ∫[α,β] (∫[a,b] f(x,t) dx) dt ∫[a,b] (∫[α,β] f(x,t) dt) dx Ky barazim tregon se, nën kushtet e teoremës, mund të ndërrohet rendi i integrimit. Vërtetimi: Përcaktojmë funksionet: F(u) = ∫[α,u] (∫[a,b] f(x,t) dx) dt G(u) = ∫[a,b] (∫[α,u] f(x,t) dt) dx Për u = α, kemi: F(α) = G(α) = 0 Duke zbatuar teoremën themelore të analizës matematike, marrim: F’(u) = ∫[a,b] f(x,u) dx Nga teorema e derivimit të integralit parametrik, marrim: G’(u) = ∫[a,b] f(x,u) d F’(u) = G’(u) Meqenëse F(α) = G(α) = 0 dhe derivatet e tyre janë të barabartë, përfundojmë se: F(u) = G(u) Duke vendosur u = β, marrim: ∫[α,β] (∫[a,b] f(x,t) dx) dt ∫[a,b] (∫[α,β] f(x,t) dt) dx Kështu vërtetohet teorema. Integralët parametrikë studiohen nëpërmjet tri vetive kryesore: vazhdueshmërisë, derivueshmërisë dhe integrueshmërisë së funksionit integral parametrik.