Duke përdorur rrjedhimin e kriterit të krahasimit limit (KLK), studioni konvergjencën e integraleve: a) ∫₁^∞ (x³/2ˣ) dx b) ∫₀¹ ∛(ln x) dx c) ∫ₑ^∞ 1/(x ln x) dx

a) STUDIMI I KONVERGJENCËS SË INTEGRALIT Hapi 1. E shkruajmë funksionin në formën e përshtatshme për zbatimin e kriterit të krahasimit limit: x³/2ˣ = (x⁵/2ˣ) · (1/x²) = α(x) · (1/x²) Ku α(x) = x⁵/2ˣ Hapi 2. Llogarisim kufirin: lim (x→∞) x⁵/2ˣ = 0 Kjo ndodh sepse funksioni eksponencial 2ˣ rritet më shpejt se fuqia x⁵. Hapi 3. Shqyrtojmë integralin krahasues: ∫₁^∞ 1/x² dx Ky integral konvergjon, sepse integralet e formës ∫₁^∞ 1/xˢ dx konvergjojnë kur s > 1. Në rastin tonë, s = 2 > 1. Hapi 4. Meqë α(x) tenton në zero dhe integrali krahasues konvergjon, sipas rrjedhimit të kriterit të krahasimit limit, konvergjon edhe integrali fillestar. Përfundimi ∫₁^∞ (x³/2ˣ) dx konvergjon. b) STUDIMI I KONVERGJENCËS SË INTEGRALIT Hapi 1. Shqyrtojmë integralin: ∫₀¹ ∛(ln x) dx Pika x = 0 është pikë problematike, sepse lim (x→0⁺) ∛(ln x) = −∞ Prandaj, kemi një integral jo të zakonshëm të llojit të dytë. Hapi 2. Për të studiuar konvergjencën absolute, marrim vlerën absolute të funksionit: |∛(ln x)| = (1/√x) · (√x ∛(|ln x|)) Vendosim α(x) = √x ∛(|ln x|) Hapi 3. Llogarisim kufirin: lim (x→0⁺) √x ∛(|ln x|) = 0 Kjo ndodh sepse fuqia e x-it zvogëlohet më shpejt sesa rritet rrënja kubike e vlerës absolute të logaritmit. Hapi 4. Shqyrtojmë integralin krahasues: ∫₀¹ 1/√x dx Llogarisim ∫₀¹ 1/√x dx = lim (a→0⁺) ∫ₐ¹ x⁻¹ᐟ² dx = lim (a→0⁺) [2√x]ₐ¹ = lim (a→0⁺) (2 − 2√a) = 2 Ky integral konvergjon, sepse integralet e formës ∫₀¹ 1/xˢ dx konvergjojnë kur s < 1. Në rastin tonë, s = 1/2 < 1. Hapi 5. Integrali i vlerës absolute konvergjon sipas kriterit të krahasimit limit. Prandaj, integrali fillestar konvergjon absolutisht. Përfundimi: ∫₀¹ ∛(ln x) dx konvergjon absolutisht. c) STUDIMI I KONVERGJENCËS SË INTEGRALIT Hapi 1. E shkruajmë funksionin në formën: 1/(x ln x) = (1/x) · (1/ln x) Vendosim μ(x) = 1/ln x Hapi 2. Llogarisim kufirin: lim (x→∞) 1/ln x = 0 Hapi 3. Shqyrtojmë integralin krahasues: ∫ₑ^∞ 1/x dx Llogarisim: ∫ₑ^∞ 1/x dx = lim (b→∞) [ln x]ₑᵇ = lim (b→∞) (ln b − 1) = +∞ Prandaj, integrali krahasues nuk konvergjon. Hapi 4. Fakti që μ(x) tenton në zero dhe integrali krahasues nuk konvergjon nuk mjafton për të përfunduar se integrali fillestar nuk konvergjon. Prandaj, e llogarisim integralin drejtpërdrejt. Vendosim I = ∫ₑ^∞ 1/(x ln x) dx Kalojmë në kufi: I = lim (b→∞) ∫ₑᵇ 1/(x ln x) dx Meqë ∫ 1/(x ln x) dx = ln(ln x) + C marrim: I = lim (b→∞) [ln(ln x)]ₑᵇ I = lim (b→∞) (ln(ln b) − ln(ln e)) Duke qenë se ln e = 1 dhe ln 1 = 0, përfitojmë: I = lim (b→∞) ln(ln b) = +∞ Prandaj, integrali fillestar nuk konvergjon. Përfundimi: ∫ₑ^∞ 1/(x ln x) dx nuk konvergjon. PËRMBLEDHJE a) Integrali konvergjon. b) Integrali konvergjon absolutisht. c) Integrali nuk konvergjon.