Studimi i natyrës së integralit jo të zakonshëm në varësi të parametrit s J(s) = ∫₀¹ (1 + cos x) / xˢ dx

Për të përcaktuar natyrën e integralit, do të përdorim kriterin e krahasimit të integraleve jo të zakonshme. Funksioni f(x) = 1 + cos x është i vazhdueshëm në intervalin [0, 1]. Pika problematike është x = 0, sepse emëruesi xˢ mund të tentojë drejt zeros. Për çdo x në intervalin (0, 1], kemi 0 ≤ cos x ≤ 1 Prandaj: 1 ≤ 1 + cos x ≤ 2 Duke pjesëtuar me xˢ, marrim 1 / xˢ ≤ (1 + cos x) / xˢ ≤ 2 / xˢ Studimi i integralit të krahasimit ∫₀¹ 1 / xˢ dx Ky integral konvergjon për s < 1 dhe divergon për s ≥ 1. Rasti i parë: s < 1 Meqë integrali ∫₀¹ 2 / xˢ dx konvergjon për s < 1 dhe kemi: 0 ≤ (1 + cos x) / xˢ ≤ 2 / xˢ nga kriteri i krahasimit përfundojmë se integrali J(s) konvergjon. Rasti i dytë: s ≥ 1 Kemi: (1 + cos x) / xˢ ≥ 1 / xˢ Meqë integrali ∫₀¹ 1 / xˢ dx divergon për s ≥ 1, nga kriteri i krahasimit përfundojmë se integrali J(s) divergon. Integrali J(s) = ∫₀¹ (1 + cos x) / xˢ dx konvergjon për s < 1 dhe divergon për s ≥ 1.