Të studiohet konvergjenca e integralit jo të zakonshëm: ∫₀^∞ [√(x³ + 4x) / ∛(x⁵ + 3x²)] dx Integrali i dhënë është integral jo i zakonshëm i përzier, sepse ka një pikë problematike në kufirin e poshtëm x = 0 dhe kufirin e sipërm të pafundëm.

HAPI 1. STUDIMI I INTEGRALIT PRANË PIKËS x = 0 Shqyrtojmë kufirin: lim (x→0⁺) √(x³ + 4x) / ∛(x⁵ + 3x²) Kur x→0⁺, termat mbizotërues janë 4x në numërues dhe 3x² në emërues. Prandaj: √(x³ + 4x) / ∛(x⁵ + 3x²) ≈ √(4x) / ∛(3x²) Duke thjeshtuar fuqitë e x-it, marrim: = (2√x) / (∛3 · x^(2/3)) = (2/∛3) · x^(1/2 − 2/3) = (2/∛3) · 1/x^(1/6) Meqë lim (x→0⁺) (2/∛3) · 1/x^(1/6) = +∞ atëherë x = 0 është pikë problematike. E ndajmë integralin në dy integrale: ∫₀^∞ [√(x³ + 4x) / ∛(x⁵ + 3x²)] dx = ∫₀¹ [√(x³ + 4x) / ∛(x⁵ + 3x²)] dx * ∫₁^∞ [√(x³ + 4x) / ∛(x⁵ + 3x²)] dx HAPI 2. STUDIMI I INTEGRALIT NË INTERVALIN (0, 1] Pranë pikës x = 0, funksioni sillet si: √(x³ + 4x) / ∛(x⁵ + 3x²) ≈ (2/∛3) · 1/x^(1/6) Shqyrtojmë integralin krahasues: ∫₀¹ 1/x^(1/6) dx Ky integral konvergjon, sepse integralet e formës: ∫₀¹ 1/xˢ dx konvergjojnë kur s < 1. Në rastin tonë, s = 1/6 < 1. Prandaj, sipas kriterit të krahasimit limit, integrali: ∫₀¹ [√(x³ + 4x) / ∛(x⁵ + 3x²)] dx konvergjon. HAPI 3. STUDIMI I INTEGRALIT NË INTERVALIN [1, ∞) Kur x→∞, termat mbizotërues janë x³ në numërues dhe x⁵ në emërues. Prandaj: √(x³ + 4x) / ∛(x⁵ + 3x²) ≈ √(x³) / ∛(x⁵) Duke thjeshtuar fuqitë, marrim = x^(3/2) / x^(5/3) = 1/x^(5/3 − 3/2) = 1/x^(1/6) Shqyrtojmë integralin krahasues ∫₁^∞ 1/x^(1/6) dx Ky integral divergon, sepse integralet e formës ∫₁^∞ 1/xˢ dx divergjojnë kur s ≤ 1. Në rastin tonë, s = 1/6 < 1. Prandaj, sipas kriterit të krahasimit limit, integrali: ∫₁^∞ [√(x³ + 4x) / ∛(x⁵ + 3x²)] dx divergon. PËRFUNDIMI Pjesa e integralit në intervalin (0, 1] konvergjon, ndërsa pjesa në intervalin [1, ∞) divergon. Meqë integrali i plotë është shuma e këtyre dy integraleve, përfundojmë se: ∫₀^∞ [√(x³ + 4x) / ∛(x⁵ + 3x²)] dx divergon.