Duke përdorur integrimin me zëvendësim, njehsoni integralet jo të zakonshme: a) ∫₅^∞ 1/(x√(x − 4)) dx b) ∫₀¹ 1/√(eˣ − 1) dx

a) Njehsimi i integralit Hapi 1. Marrim zëvendësimin: u = √(x − 4) Nga kjo marrim x = u² + 4 dx = 2u du Për kufijtë e integrimit kemi: Kur x = 5, u = √(5 − 4) = 1. Kur x → ∞, u → ∞. Hapi 2. Zëvendësojmë në integralin fillestar: ∫₅^∞ 1/(x√(x − 4)) dx = ∫₁^∞ 1/((u² + 4)u) · 2u du = 2∫₁^∞ 1/(u² + 4) du Hapi 3. Përdorim formulën: ∫ 1/(u² + a²) du = (1/a) arctg(u/a) + C Në rastin tonë, a = 2. Prandaj 2∫₁^∞ 1/(u² + 4) du = 2 · (1/2) ∫₁^∞ 1/(1 + (u/2)²) du Duke zbatuar formulën e mësipërme, marrim: = [arctg(u/2)]₁^∞ = π/2 − arctg(1/2) PËRFUNDIMI ∫₅^∞ 1/(x√(x − 4)) dx = π/2 − arctg(1/2). b) Njehsimi i integralit Hapi 1. Shqyrtojmë integralin: ∫₀¹ 1/√(eˣ − 1) dx Pika x = 0 është pikë problematike, sepse emëruesi bëhet zero. Marrim zëvendësimin: u = √(eˣ − 1) Duke ngritur në katror, kemi u² = eˣ − 1 eˣ = u² + 1 x = ln(u² + 1) Duke derivuar, marrim dx = 2u/(u² + 1) du Hapi 2. Përcaktojmë kufijtë e rinj. Kur x = 0: u = √(e⁰ − 1) = 0 Kur x = 1: u = √(e − 1) Hapi 3. Zëvendësojmë në integralin fillestar: ∫₀¹ 1/√(eˣ − 1) dx = ∫₀^√(e − 1) (1/u) · 2u/(u² + 1) du = 2∫₀^√(e − 1) 1/(u² + 1) du Hapi 4. Përdorim formulën ∫ 1/(u² + 1) du = arctg u + C Prandaj 2∫₀^√(e − 1) 1/(u² + 1) du = 2[arctg u]₀^√(e − 1) = 2(arctg√(e − 1) − arctg 0) Meqë arctg 0 = 0, përfitojmë = 2 arctg√(e − 1) PËRFUNDIMI ∫₀¹ 1/√(eˣ − 1) dx = 2 arctg√(e − 1).