Gjeni ekstremumet lokale të funksionit f(x,y) = 1 − (x² + y²)^(1/3)

Derivatet e pjesshme të funksionit janë: f′ₓ(x,y) = −2x / [3(x² + y²)^(2/3)] f′ᵧ(x,y) = −2y / [3(x² + y²)^(2/3)] Kjo tregon se derivatet e pjesshme ekzistojnë në çdo pikë të R², me përjashtim të pikës (0,0). Për çdo pikë (x,y) ≠ (0,0), të paktën njëri prej derivateve të pjesshme është i ndryshëm nga zero. Prandaj, e vetmja pikë kritike është (0,0). Në këtë pikë f(0,0) = 1 − (0² + 0²)^(1/3) = 1 Për çdo pikë (x,y) ≠ (0,0), kemi x² + y² > 0, prandaj (x² + y²)^(1/3) > 0 Si rrjedhim f(x,y) = 1 − (x² + y²)^(1/3) < 1 = f(0,0) Kjo tregon se vlera e funksionit në pikën (0,0) është më e madhe se vlerat e tij në të gjitha pikat e tjera përreth saj. Sipas përkufizimit, pika (0,0) është pikë maksimumi lokal. Në fakt, kjo pabarazi vlen për cdo pikë të planit të ndryshme nga origjina, prandaj pika është edhe pikë maksimumi global. Funksioni ka maksimum lokal dhe global në pikën (0,0), me vlerë maksimale f(0,0) = 1. Kjo është një pikë kritike jo stacionare, sepse derivatet e pjesshme nuk ekzistojnë në këtë pikë. Grafiku tredimensional paraqet një sipërfaqe me majë në pikën (0,0,1).