Gjeni vlerat ekstremale të funksionit f(x,y) = x² + 2y² mbi rrethin x² + y² = 1. Funksioni që duam të maksimizojmë ose minimizojmë është f(x,y) = x² + 2y² Ky funksion përfaqëson një sipërfaqe tredimensionale, që mund të përfytyrohet si një luginë ose një kodër. Qëllimi është të gjejmë sa më lart dhe sa më poshtë mund të arrijë kjo sipërfaqe. Kushti është g(x,y) = x² + y² − 1 = 0 Kjo do të thotë se nuk po kërkojmë ekstremumet në të gjithë planin, por vetëm në pikat (x,y) që ndodhen mbi një rreth me rreze 1 dhe qendër në origjinë.

Kushti është g(x,y) = x² + y² − 1 = 0. Për të gjetur vlerat ekstremale, zgjidhim sistemin e shumëzuesve të Lagranzhit ∇f(x,y) = λ∇g(x,y) g(x,y) = 0 Simboli ∇, tregon gradientin, pra vektorin e derivateve të pjesshme të funksionit ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) Kjo formulë shpreh se gradientët e të dy funksioneve janë paralelë në pikat ku mund të arrihen ekstremumet, nën kushtin e dhënë. Simboli λ përfaqëson një numër real të quajtur shumëzuesi i Lagranzhit, i cili lidh dy gradientët. Duke njehsuar derivatet e pjesshme të të dy funksioneve, marrim: ∇f = (2x, 4y) ∇g = (2x, 2y) Prandaj, sistemi mund të shkruhet në formën (2x, 4y) = (2λx, 2λy) x² + y² − 1 = 0 Duke barazuar koordinatat përkatëse të vektorëve, marrim sistemin: 2x = 2λx 4y = 2λy x² + y² − 1 = 0 Shqyrtojmë ekuacionin e parë: 2x = 2λx 2x − 2λx = 0 2x(1 − λ) = 0 Një prodhim është zero kur të paktën njëri nga faktorët është zero. Prandaj x = 0 ose λ = 1 Shqyrtojmë ekuacionin e dytë: 4y = 2λy 4y − 2λy = 0 2y(2 − λ) = 0 Prandaj y = 0 ose λ = 2 Nga ekuacioni i parë kemi x = 0 ose λ = 1. Nëse x = 0, nga kushti x² + y² = 1 marrim y = ±1. Nëse λ = 1, ekuacioni i dytë jep y = 0 dhe, nga kushti, x = ±1. Si i gjetem pikat Rasti i parë: λ = 1 Ekuacioni i dytë kërkon që: 2y(2 − 1) = 0 2y = 0 y = 0 Pasi gjetëm y = 0, e zëvendësojmë te kushti i tretë: x² + 0² − 1 = 0 x² = 1 x = ±1 Kështu, gjejmë pikat: (1,0) dhe (−1,0) Rasti i dytë: x = 0 E zëvendësojmë x = 0 te kushti: 0² + y² − 1 = 0 y² = 1 y = ±1 Kështu, gjejmë pikat: (0,1) dhe (0,−1) LLOGARITJA E VLERAVE TË FUNKSIONIT Rrjedhimisht, pikat në të cilat mund të arrihen vlerat ekstremale janë (0,1), (0,−1), (1,0) dhe (−1,0). Llogarisim vlerën e funksionit f(x,y) = x² + 2y² në secilën pikë, duke zëvendësuar koordinatat në funksionin fillestar. Për pikën (0,1): f(0,1) = 0² + 2 · 1² = 0 + 2 = 2 Për pikën (0,−1): f(0,−1) = 0² + 2 · (−1)² = 0 + 2 = 2 Për pikën (1,0): f(1,0) = 1² + 2 · 0² = 1 + 0 = 1 Për pikën (−1,0): f(−1,0) = (−1)² + 2 · 0² = 1 + 0 = 1 f(0,1) = 2 f(0,−1) = 2 f(1,0) = 1 f(−1,0) = 1 Vlera maksimale e funksionit f(x,y) = x² + 2y² mbi rrethin x² + y² = 1 është 2 dhe arrihet në pikat (0,1) dhe (0,−1): f(0, ±1) = 2 Vlera minimale është 1 dhe arrihet në pikat (1,0) dhe (−1,0): f(±1,0) = 1 Këto rezultate përputhen me paraqitjen gjeometrike të funksionit dhe kushtit të dhënë.