Një kuti drejtkëndëshe pa një faqe duhet të përgatitet me 12 m² material. Gjeni vëllimin maksimal që mund të arrihet.

Shënojmë gjatësinë, gjerësinë dhe lartësinë e kutisë përkatësisht me x, y dhe z. Vëllimi i kutisë është V = xyz Meqë kutia nuk ka kapak, sipërfaqja e saj përbëhet nga baza dhe katër faqet anësore. Prandaj, kushti për sipërfaqen është 2xz + 2yz + xy = 12 Duke zgjidhur këtë ekuacion për z, marrim z = (12 − xy)/(2x + 2y) Zëvendësojmë shprehjen e z në formulën e vëllimit V = xy · (12 − xy)/(2x + 2y) V(x,y) = (12xy − x²y²)/(2x + 2y) Tani njehsojmë derivatet e pjesshme: V′ₓ(x,y) = y²(12 − 2xy − x²)/[2(x + y)²] V′ᵧ(x,y) = x²(12 − 2xy − y²)/[2(x + y)²] Për të gjetur pikat kritike, barazojmë derivatet e pjesshme me zero. Duke qenë se x > 0 dhe y > 0, marrim sistemin: 12 − 2xy − x² = 0 12 − 2xy − y² = 0 Zbresim ekuacionin e dytë nga i pari y² − x² = 0 Prandaj y² = x² Meqë x > 0 dhe y > 0, rezulton y = x Zëvendësojmë y = x në ekuacionin e parë: 12 − 2x² − x² = 0 12 − 3x² = 0 3x² = 12 x² = 4 x = 2 Meqë y = x, kemi: y = 2 Pra, pika kritike është (2,2). Lartësinë e gjejmë duke zëvendësuar x = 2 dhe y = 2 në formulën e z: z = (12 − xy)/(2x + 2y) z = (12 − 2 · 2)/(2 · 2 + 2 · 2) z = (12 − 4)/(4 + 4) z = 8/8 = 1 m Kështu, përmasat e kutisë janë x = 2 m, y = 2 m dhe z = 1 m. Vëllimi për këto përmasa është: V = xyz V = 2 · 2 · 1 = 4 m³ Vëllimi maksimal i kutisë është 4 m³. Ky vëllim arrihet kur baza është katrore me brinjë 2 m dhe lartësia e kutisë është 1 m.