Llogaritni integralin trefish: I = ∭ₜ 6xy dx dy dz ku T është trupi i kufizuar nga rrafshet: x = 0, y = 0, z = 0 dhe 2x + y + z = 4.

1. Përcaktimi i kufijve të integrimit Këtë herë trupin T e projektojmë në rrafshin Oyz dhe integrojmë fillimisht sipas ndryshores x. Nga ekuacioni i rrafshit 2x + y + z = 4 shprehim x: x = (4 − y − z)/2 Për çdo pikë (y,z) në projeksionin D′, ndryshorja x merr vlera nga 0 deri në (4 − y − z)/2. Prandaj: 0 ≤ x ≤ (4 − y − z)/2 Projeksioni D′ në rrafshin Oyz është trekëndëshi i kufizuar nga y ≥ 0, z ≥ 0, y + z ≤ 4 Kështu, kufijtë e ndryshoreve y dhe z janë: 0 ≤ y ≤ 4 0 ≤ z ≤ 4 − y 2. Shkrimi i integralit të përsëritur Duke përdorur këta kufij, marrim I = ∫₀⁴ dy ∫₀^(4−y) dz ∫₀^((4−y−z)/2) 6xy dx 3. Llogaritja e integralit sipas x Fillimisht llogarisim ∫₀^((4−y−z)/2) 6xy dx Meqë 6y është konstante ndaj x, kemi = 6y ∫₀^((4−y−z)/2) x dx Duke integruar: = 6y [x²/2]₀^((4−y−z)/2) Zëvendësojmë kufijtë: = 3y [(4 − y − z)/2]² = 3y(4 − y − z)²/4 Prandaj integrali trefish shndërrohet në: I = 3/4 ∫₀⁴ y dy ∫₀^(4−y) (4 − y − z)² dz 4. Llogaritja e integralit sipas z Llogarisim: ∫₀^(4−y) (4 − y − z)² dz Përdorim zëvendësimin u = 4 − y − z du = −dz Pas integrimit dhe zëvendësimit të kufijve, marrim: ∫₀^(4−y) (4 − y − z)² dz = (4 − y)³/3 Prandaj: I = 3/4 ∫₀⁴ y · (4 − y)³/3 dy Thjeshtojmë: I = 1/4 ∫₀⁴ y(4 − y)³ dy Zhvillojmë fuqinë: (4 − y)³ = 64 − 48y + 12y² − y³ Atëherë: I = 1/4 ∫₀⁴ (64y − 48y² + 12y³ − y⁴) dy Integrojmë: I = 1/4 [32y² − 16y³ + 3y⁴ − y⁵/5]₀⁴ Zëvendësojmë kufijtë: I = 1/4 (512 − 1024 + 768 − 1024/5) Duke thjeshtuar, përfitojmë: Përgjigjja përfundimtare: I = 64/5