Njehsoni integralin trefish ∭_T e^(x^2 + y^2) dx dy dz, ku T është trupi i kufizuar nga cilindri x^2 + y^2 = 9, plani oxy dhe plani z=5

Hapi 1. Vëmë re se zona e projektimit në planin oxy është një qark D me qendër origjinën dhe rreze 3. Për çfarëdo (x, y) në këtë zonë, z merr vlera nga z = 0 deri tek z = 5. Atëherë, integrali trefish shkruhet si: ∭_T e^(x^2 + y^2) dx dy dz = ∬_D dx dy ∫_0^5 e^(x^2 + y^2) dz = 5 ∬_D e^(x^2 + y^2) dx dy Hapi 2. Kalojmë te integrali dyfish dhe shprehim kufijtë e zonës së integruimit D: 5 ∬D e^(x^2 + y^2) dx dy = 5 ∫{-3}^3 dx ∫_{-\sqrt{9 - x^2}}^{\sqrt{9 - x^2}} e^(x^2 + y^2) dy Hapi 3. Duke qenë se në këtë moment nuk njohim ndonjë primitivë të funksionit e^(x^2 + y^2) në koordinatat karteziane, përdorim koordinatat polare për zonën e integruimit D. Kufijtë e rinj janë: 0 ≤ φ ≤ 2π 0 ≤ r ≤ 3 Hapi 4. Zëvendësojmë x^2 + y^2 = r^2 dhe elementin e sipërfaqes dx dy = r dr dφ. Integrali merr formën: 5 ∫_0^(2π) dφ ∫_0^3 e^(r^2) r dr Hapi 5. Kryejmë integrimin duke zëvendësuar r dr = (1/2) d(r^2): 5 ∫_0^(2π) dφ • (1/2) ∫_0^3 e^(r^2) d(r^2) = 5 • 2π • (1/2) e^(r^2) |_0^3 = 5π (e^(3^2) - e^0) = 5π (e^9 - 1) PËRFUNDIMI Rezultati përfundimtar është 5π(e^9 - 1)