Të llogaritet integrali trefish I = ∭_B x²y sin(x³ − πz) dx dy dz ,ku B = [0, ∛(π/2)] × [−1, 3] × [0, 1]

Meqë funksioni nën integral është i vazhdueshëm në zonën B, integrali trefish shprehet si integral i përsëritur: I = ∫₀^∛(π/2) dx ∫₋₁³ dy ∫₀¹ x²y sin(x³ − πz) dz Nxjerrim faktorët që nuk varen nga z: I = ∫₀^∛(π/2) x² dx ∫₋₁³ y dy ∫₀¹ sin(x³ − πz) dz Llogarisim integralin e brendshëm: ∫₀¹ sin(x³ − πz) dz Përdorim zëvendësimin: u = x³ − πz du = −π dz dz = −du/π Prandaj ∫ sin(x³ − πz) dz = cos(x³ − πz)/π Zëvendësojmë kufijtë: ∫₀¹ sin(x³ − πz) dz = [cos(x³ − πz)/π]₀¹ = [cos(x³ − π) − cos(x³)]/π Kështu: I = 1/π ∫₀^∛(π/2) x²[cos(x³ − π) − cos(x³)] dx ∫₋₁³ y dy Llogarisim integralin sipas y: ∫₋₁³ y dy = [y²/2]₋₁³ = 9/2 − 1/2 = 4 Prandaj: I = 4/π ∫₀^∛(π/2) x²[cos(x³ − π) − cos(x³)] dx Ndajmë integralin: I = 4/π [∫₀^∛(π/2) x² cos(x³ − π) dx − ∫₀^∛(π/2) x² cos(x³) dx] Për integralin e parë përdorim: u = x³ − π du = 3x² dx x² dx = du/3 Atëherë: ∫ x² cos(x³ − π) dx = 1/3 sin(x³ − π) Për integralin e dytë përdorim: v = x³ dv = 3x² dx x² dx = dv/3 Atëherë: ∫ x² cos(x³) dx = 1/3 sin(x³) Zëvendësojmë: I = 4/(3π) [sin(x³ − π) − sin(x³)]₀^∛(π/2) Meqë (∛(π/2))³ = π/2 marrim: I = 4/(3π) [sin(−π/2) − sin(π/2) − sin(−π) + sin(0)] Duke përdorur: sin(−π/2) = −1 sin(π/2) = 1 sin(−π) = 0 sin(0) = 0 përfitojmë: I = 4/(3π)(−1 − 1) Përgjigjja përfundimtare: I = −8/(3π)