Njehsoni integralin trefish: I = ∫₋₁¹ dx ∫₋√(1−x²)^√(1−x²) dy ∫₍ₓ²₊ᵧ²₎^(2−x²−y²) (x² + y²)^(3/2) dz

Hapi 1. Përcaktimi i trupit të integrimit Për të njehsuar integralin, kalojmë nga koordinatat karteziane në koordinata cilindrike, sepse funksioni nën integral përmban shprehjen x² + y², e cila në koordinata cilindrike shprehet me r². Trupi i integrimit është: T = { (x, y, z) | −1 ≤ x ≤ 1, −√(1−x²) ≤ y ≤ √(1−x²), x² + y² ≤ z ≤ 2 − x² − y² } Hapi 2. Përcaktimi i sipërfaqeve kufizuese Trupi T ndodhet sipër sipërfaqes z = x² + y² dhe poshtë sipërfaqes z = 2 − x² − y² Të dyja sipërfaqet janë paraboloide. Projeksioni i trupit në rrafshin Oxy është zona: D = { (x, y) | −1 ≤ x ≤ 1, −√(1−x²) ≤ y ≤ √(1−x²) } Nga kushti x² + y² ≤ 1, kuptojmë se zona D është rrethi me qendër në origjinë dhe me rreze 1. Hapi 3. Kalimi në koordinata cilindrike Përdorim formulat e kalimit nga koordinatat karteziane në koordinata cilindrike: x = r cos φ y = r sin φ x² + y² = r² dx dy = r dr dφ Meqë zona e integrimit është rrethi me rreze 1, kufijtë janë: 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ φ ≤ 2π Sipërfaqet kufizuese shprehen në trajtën r² ≤ z ≤ 2 − r² Gjithashtu (x² + y²)^(3/2) = (r²)^(3/2) = r³ Hapi 4. Shkrimi dhe njehsimi i integralit Duke zëvendësuar shprehjet dhe kufijtë në koordinata cilindrike, marrim: I = ∫₀²π dφ ∫₀¹ r dr ∫ᵣ²^(2−r²) r³ dz Meqë r³ nuk varet nga z, integrojmë fillimisht sipas z: I = ∫₀²π dφ ∫₀¹ r⁴ [z]ᵣ²^(2−r²) dr Zëvendësojmë kufijtë e z: I = ∫₀²π dφ ∫₀¹ r⁴ [(2 − r²) − r²] dr Thjeshtojmë: I = ∫₀²π dφ ∫₀¹ r⁴(2 − 2r²) dr I = ∫₀²π dφ ∫₀¹ (2r⁴ − 2r⁶) dr Llogarisim integralin sipas r: I = ∫₀²π dφ [2r⁵/5 − 2r⁷/7]₀¹ Zëvendësojmë kufijtë: I = ∫₀²π (2/5 − 2/7) dφ I = ∫₀²π 4/35 dφ Tani integrojmë sipas φ: I = (4/35)[φ]₀²π I = (4/35) · 2π PËRFUNDIMI Rezultati përfundimtar është I = 8π/35