Të llogaritet integrali trefish: I = ∭ₜ e^(x² + y²) dx dy dz ku T është trupi i kufizuar nga cilindri x² + y² = 9, rrafshi Oxy dhe rrafshi z = 5.

1. Përcaktimi i zonës së integrimit Trupi T kufizohet nga cilindri x² + y² = 9, nga poshtë nga rrafshi z = 0 dhe nga sipër nga rrafshi z = 5. Projeksioni i trupit në rrafshin Oxy është rrethi D: x² + y² ≤ 9 Për rrjedhojë, ndryshorja z merr vlerat 0 ≤ z ≤ 5 Prandaj, integrali trefish shkruhet: I = ∬ᴰ dx dy ∫₀⁵ e^(x² + y²) dz Meqë funksioni e^(x² + y²) nuk varet nga z, marrim I = 5 ∬ᴰ e^(x² + y²) dx dy 2. Shprehja e zonës në koordinata karteziane Rrethi x² + y² = 9 ka qendër në origjinë dhe rreze 3. Në koordinata karteziane, zona D përshkruhet me kufijtë: −3 ≤ x ≤ 3 −√(9 − x²) ≤ y ≤ √(9 − x²) Kështu I = 5 ∫₋₃³ dx ∫₋√(9−x²)^√(9−x²) e^(x² + y²) dy Ky integral është i vështirë për t’u llogaritur drejtpërdrejt. Prandaj përdorim koordinatat polare. 3. Kalimi në koordinata polare Përdorim zëvendësimet: x = r cos φ y = r sin φ x² + y² = r² Elementi i sipërfaqes shndërrohet në dx dy = r dr dφ Meqë zona D është rreth me rreze 3, kufijtë në koordinata polare janë: 0 ≤ r ≤ 3 0 ≤ φ ≤ 2π Prandaj I = 5 ∫₀²π dφ ∫₀³ e^(r²) r dr 4. Llogaritja e integralit Fillimisht llogarisim integralin sipas r: ∫₀³ e^(r²) r dr Përdorim zëvendësimin: u = r² du = 2r dr r dr = du/2 Kur r = 0, u = 0. Kur r = 3, u = 9. Prandaj ∫₀³ e^(r²) r dr = 1/2 ∫₀⁹ eᵘ du Duke integruar = 1/2 [eᵘ]₀⁹ = 1/2(e⁹ − 1) Tani zëvendësojmë në integralin fillestar I = 5 ∫₀²π dφ · 1/2(e⁹ − 1) Meqë ∫₀²π dφ = 2π marrim I = 5 · 2π · 1/2(e⁹ − 1) Përgjigjja përfundimtare I = 5π(e⁹ − 1)