Llogaritni integralin trefish I = ∭ₜ 6xy dx dy dz ku T është trupi i kufizuar nga rrafshet x = 0, y = 0, z = 0 dhe 2x + y + z = 4.

1. Përcaktimi i kufijve të integrimit Trupi T ndodhet mbi trekëndëshin D në rrafshin Oxy. Rrafshi kufizues jepet nga ekuacioni: 2x + y + z = 4 Duke shprehur z, marrim z = 4 − 2x − y Për çdo pikë (x,y) në zonën D, ndryshorja z merr vlera nga 0 deri në 4 − 2x − y. Prandaj 0 ≤ z ≤ 4 − 2x − y Projeksioni D në rrafshin Oxy kufizohet nga: x ≥ 0 y ≥ 0 2x + y ≤ 4 Nga ekuacioni 2x + y = 4, kur y = 0, marrim x = 2, ndërsa kur x = 0, marrim y = 4. Kështu, kufijtë e zonës D janë: 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 4 − 2x 2. Shkrimi i integralit të përsëritur Duke përdorur kufijtë e përcaktuar, kemi I = ∫₀² dx ∫₀^(4−2x) dy ∫₀^(4−2x−y) 6xy dz Fillimisht integrojmë sipas z: I = ∫₀² dx ∫₀^(4−2x) 6xy [z]₀^(4−2x−y) dy Zëvendësojmë kufijtë: I = ∫₀² dx ∫₀^(4−2x) 6xy(4 − 2x − y) dy Nxjerrim 6x jashtë integralit sipas y: I = 6∫₀² x dx ∫₀^(4−2x) y(4 − 2x − y) dy 3. Llogaritja e integralit sipas y Zhvillojmë prodhimin y(4 − 2x − y) = 4y − 2xy − y² Prandaj: I = 6∫₀² x dx ∫₀^(4−2x) (4y − 2xy − y²) dy Integrojmë sipas y: ∫(4y − 2xy − y²) dy = 2y² − xy² − y³/3 Kështu: I = 6∫₀² x [2y² − xy² − y³/3]₀^(4−2x) dx Zëvendësojmë kufijtë: I = 6∫₀² x [2(4 − 2x)² − x(4 − 2x)² − (4 − 2x)³/3] dx Pas thjeshtimit dhe llogaritjes së integralit të fundit, përfitojmë: Përgjigjja përfundimtare: I = 64/5