Njehsoni integralin trefish: I = ∫₋₂² dx ∫₀^√(4−x²) dy ∫₀^√(4−x²−y²) (x² + y² + z²) dz

Hapi 1. Kalimi në koordinata sferike Funksioni nën integral është x² + y² + z² Në koordinata sferike përdorim formulat: x = ρ sin θ cos φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos θ Prandaj: x² + y² + z² = ρ² Elementi i vëllimit shprehet si dx dy dz = ρ² sin θ dρ dθ dφ Hapi 2. Përcaktimi i trupit të integrimit Trupi kufizohet nga poshtë nga rrafshi: z = 0 dhe nga sipër nga sipërfaqja: z = √(4 − x² − y²) Duke ngritur në katror, marrim: x² + y² + z² = 4 Kjo është sipërfaqja e gjysmësferës me qendër në origjinë dhe rreze 2. Meqë x ndryshon nga −2 deri në 2, ndërsa y është jonegativ, trupi përfshin pjesën e gjysmësferës mbi rrafshin Oxy, ku y ≥ 0. Pra, nuk është vetëm pjesa në oktantin e parë, por përfshin edhe pjesë të oktantit të dytë. Hapi 3. Përcaktimi i kufijve në koordinata sferike Kufijtë për rrezen janë 0 ≤ ρ ≤ 2 Këndi θ matet nga boshti pozitiv Oz. Meqë trupi ndodhet mbi rrafshin Oxy: 0 ≤ θ ≤ π/2 Këndi φ përcakton pozicionin në rrafshin Oxy. Meqë y ≥ 0, ai ndryshon nga 0 deri në π: 0 ≤ φ ≤ π Hapi 4. Shkrimi dhe njehsimi i integralit Duke zëvendësuar funksionin dhe elementin e vëllimit, marrim: I = ∫₀^π dφ ∫₀^(π/2) dθ ∫₀² ρ² · ρ² sin θ dρ Bashkojmë fuqitë e ρ: I = ∫₀^π dφ ∫₀^(π/2) sin θ dθ ∫₀² ρ⁴ dρ Fillimisht integrojmë sipas ρ: ∫₀² ρ⁴ dρ = [ρ⁵/5]₀² = 32/5 Më pas integrojmë sipas θ: ∫₀^(π/2) sin θ dθ = [−cos θ]₀^(π/2) = 1 Në fund, integrojmë sipas φ: ∫₀^π dφ = [φ]₀^π = π Prandaj: I = π · 1 · 32/5 PËRFUNDIMI Rezultati përfundimtar është I = 32π/5