Gjeni limitet ose provoni që nuk ekzistojnë. (a) lim₍ₓ,ᵧ₎→₍₀,₀₎ [x²y / (x² + y²)] (b) lim₍ₓ,ᵧ₎→₍₀,₀₎ [xy² / (x² + y⁴)]

(a) Limiti lim₍ₓ,ᵧ₎→₍₀,₀₎ [x²y / (x² + y²)] është i formës së pacaktuar 0/0. Vlerësojmë funksionin duke përdorur mosbarazimin 0 ≤ |x²y / (x² + y²)| ≤ |x²y / x²| = |y|. Duke kaluar në limit për x → 0 dhe y → 0, marrim lim₍ₓ,ᵧ₎→₍₀,₀₎ 0 = 0 dhe lim₍ₓ,ᵧ₎→₍₀,₀₎ |y| = 0. Prandaj, sipas teoremës së policit lim₍ₓ,ᵧ₎→₍₀,₀₎ [x²y / (x² + y²)] = 0. (b) Funksioni f(x, y) = xy² / (x² + y⁴) është i formës së pacaktuar 0/0 në pikën (0, 0). Fillimisht shqyrtojmë drejtëzat y = kx, ku k ∈ ℝ. Zëvendësojmë y = kx në funksion lim₍ₓ→₀₎ [x(kx)² / (x² + (kx)⁴)] = lim₍ₓ→₀₎ [k²x³ / (x² + k⁴x⁴)] = lim₍ₓ→₀₎ [k²x / (1 + k⁴x²)] = 0. Pra, përgjatë çdo drejtëze y = kx, limiti është 0. Megjithatë, kjo nuk mjafton për të vërtetuar se limiti ekziston. Shqyrtojmë tani drejtimin x = y². Zëvendësojmë x = y² në funksion lim₍ᵧ→₀₎ [y² · y² / (y⁴ + y⁴)] = lim₍ᵧ→₀₎ [y⁴ / 2y⁴] = 1/2. Përgjatë drejtëzave y = kx, limiti është 0, ndërsa përgjatë drejtimit x = y², limiti është 1/2. (a) Limiti ekziston dhe është 0. (b) Limiti nuk ekziston, sepse vlerat e limiteve përgjatë dy drejtimeve të ndryshme janë të ndryshme: 0 dhe 1/2. Nëse z = f(x, y), x = x(u, v) dhe y = y(u, v), atëherë funksioni i përbërë është z = f(x(u, v), y(u, v)).