Gjeni pikat e vazhdueshmërisë të funksionit f(x, y) = arctg(x/y) dhe përcaktoni llojin e pikave të këputjes.

Marrim u = h(x, y) = x/y dhe z = g(u) = arctg u. Atëherë f(x, y) = g(h(x, y)) = arctg(x/y). Funksioni g(u) = arctg u është i vazhdueshëm në të gjithë ℝ, ndërsa h(x, y) = x/y është i vazhdueshëm në ℝ² për y ≠ 0. Rrjedhimisht, funksioni f(x, y) = arctg(x/y) është i vazhdueshëm në të gjitha pikat e ℝ² ku y ≠ 0. Pikat e boshtit Ox, ku y = 0, janë pikat e mundshme të këputjes. Shqyrtojmë një pikë (b, 0), ku b > 0. Llogarisim limitet kur y i afrohet zeros nga ana pozitive dhe nga ana negative. Për y → 0⁺, kemi x/y → +∞, prandaj lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ᵦ,₀₊₎ arctg(x/y) = π/2. Për y → 0⁻, kemi x/y → −∞, prandaj lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ᵦ,₀₋₎ arctg(x/y) = −π/2. Meqenëse këto dy limite janë të ndryshme, limiti i funksionit në pikën (b, 0) nuk ekziston. Prandaj, pika (b, 0) është pikë këputjeje e thelbësore. Në mënyrë të ngjashme, për b < 0, limitet nga dy anët janë të ndryshme: lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ᵦ,₀₊₎ arctg(x/y) = −π/2 dhe lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ᵦ,₀₋₎ arctg(x/y) = π/2. Prandaj, edhe çdo pikë (b, 0), ku b < 0, është pikë këputjeje e thelbësore. Shqyrtojmë tani pikën (0, 0). Marrim drejtëzat y = kx, ku k ≠ 0. Atëherë: lim₍ₓ→₀₎ arctg(x/(kx)) = lim₍ₓ→₀₎ arctg(1/k) = arctg(1/k). Meqenëse vlera arctg(1/k) ndryshon për vlera të ndryshme të k, limiti i funksionit në pikën (0, 0) nuk ekziston. Prandaj, edhe pika (0, 0) është pikë këputjeje e thelbësore. Funksioni f(x, y) = arctg(x/y) është i vazhdueshëm në të gjitha pikat e ℝ² ku y ≠ 0. Të gjitha pikat e boshtit Ox, përfshirë pikën (0, 0), janë pika këputjeje të thelbësore, sepse limiti i funksionit në këto pika nuk ekziston.