Provoni që: (a) lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ₐ,ᵦ₎ x = a dhe lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ₐ,ᵦ₎ y = b. (b) lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ₐ,ᵦ₎ xⁿ = aⁿ dhe lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ₐ,ᵦ₎ yⁿ = bⁿ. (c) lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ₐ,ᵦ₎ Pₙ(x, y) = Pₙ(a, b), ku Pₙ(x, y) = a₀₀ + a₁₀x + a₀₁y + a₁₁xy + ... + a₀ₙyⁿ + aₙ₀xⁿ është polinom i rendit n me dy ndryshore. (d) lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ₐ,ᵦ₎ [Pₙ(x, y) / Qₘ(x, y)] = Pₙ(a, b) / Qₘ(a, b), nëse Qₘ(a, b) ≠ 0, ku Qₘ(x, y) = b₀₀ + b₁₀x + b₀₁y + b₁₁xy + b₂₀x² + ... + b₀ₘyᵐ + b₀ₘxᵐ.

(a) E provojmë këtë limit duke u bazuar në përkufizimin (V). Shënojmë f(x, y) = x dhe g(x, y) = y. Për çdo varg (xₙ, yₙ) që konvergjon te (a, b), kemi: f(xₙ, yₙ) = xₙ → a dhe g(xₙ, yₙ) = yₙ → b. Prandaj, lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ₐ,ᵦ₎ x = a dhe lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ₐ,ᵦ₎ y = b. (b) Për fuqitë e ndryshores x, kemi x² = x · x → a · a = a². Gjithashtu, x³ = x² · x → a² · a = a³. Duke zbatuar rregullën e limitit të prodhimit, me induksion provohet se lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ₐ,ᵦ₎ xⁿ = a^ për çdo n ∈ ℕ. Në mënyrë të ngjashme provohet se lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ₐ,ᵦ₎ yⁿ = bⁿ. (c) Për polinomin Pₙ(x, y) = a₀₀ + a₁₀x + a₀₁y + a₁₁xy + ... + a₀ₙyⁿ + aₙ₀xⁿ, duke zbatuar rregullat e kalimit në limit për shumën dhe prodhimin, si dhe limitet e fuqive, marrim: lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ₐ,ᵦ₎ Pₙ(x, y) = Pₙ(a, b). (d) Duke zbatuar rregullën e limitit të raportit, për sa kohë që Qₘ(a, b) ≠ 0, marrim lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ₐ,ᵦ₎ [Pₙ(x, y) / Qₘ(x, y)] = Pₙ(a, b) / Qₘ(a, b). Limiti i një polinomi me dy ndryshore në pikën (a, b) është vlera e polinomit në atë pikë. Limiti i raportit të dy polinomeve është raporti i vlerave të tyre në pikën (a, b), me kusht që emëruesi të mos jetë zero.