Gjeni pikat e vazhdueshmërisë dhe përcaktoni llojin e pikave të këputjes për funksionet: (a) f(x, y) = 2 / (x² − y) (b) f(x, y) = x⁴ / [x(x² + y²)]

(a) Për funksionin f(x, y) = 2 / (x² − y), funksioni është i vazhdueshëm në ℝ², me përjashtim të pikave ku emëruesi është zero, domethënë: x² − y = 0 Prandaj, pikat e parabolës y = x² janë pika këputjeje. Nëse (a, b) është pikë e kësaj parabole dhe a ≠ 0, atëherë b = a². Duke iu afruar pikës (a, b) përgjatë drejtëzës x = a, marrim: lim₍ᵧ→ᵦ₎ 2 / (a² − y) = ±∞. Prandaj, limiti nuk ekziston si limit i fundëm dhe pika (a, b) është pikë këputjeje e thelbësore. Nëse a = 0, atëherë edhe b = 0, sepse b = a². Shqyrtojmë limitin në pikën (0, 0) lim₍ₓ,ᵧ₎→₍₀,₀₎ 2 / (x² − y). Ky limit është i formës së pacaktuar 0/0. Duke marrë y = 0, marrim lim₍ₓ→₀₎ 2 / x² = +∞. Prandaj, edhe pika (0, 0) është pikë këputjeje e thelbësore. Përfundimisht, funksioni është i vazhdueshëm në të gjitha pikat e ℝ² që nuk i përkasin parabolës y = x², ndërsa të gjitha pikat e kësaj parabole janë pika këputjeje të thelbësore. (b) Për funksionin f(x, y) = x⁴ / [x(x² + y²)], funksioni është i vazhdueshëm në ℝ², me përjashtim të pikave ku emëruesi është zero x(x² + y²) = 0. Kjo barazi plotësohet kur x = 0. Prandaj, pikat e boshtit Oy janë pika ku funksioni nuk është i përcaktuar. Shqyrtojmë një pikë të çfarëdoshme (0, b), ku b ≠ 0. Llogarisim limitin lim₍ₓ,ᵧ₎→₍₀,ᵦ₎ x⁴ / [x(x² + y²)] = lim₍ₓ,ᵧ₎→₍₀,ᵦ₎ x³ / (x² + y²) = 0. Meqenëse limiti ekziston dhe është i fundëm, çdo pikë (0, b), ku b ≠ 0, është pikë këputjeje e mënjanueshme. Tani shqyrtojmë pikën (0, 0) lim₍ₓ,ᵧ₎→₍₀,₀₎ x⁴ / [x(x² + y²)] = lim₍ₓ,ᵧ₎→₍₀,₀₎ x³ / (x² + y²). Për x ≠ 0, mund ta shkruajmë shprehjen në formën x · [x² / (x² + y²)]. Vërejmë se 0 ≤ x² / (x² + y²) ≤ 1. Prandaj,|x · [x² / (x² + y²)]| ≤ |x|. Kur (x, y) → (0, 0), kemi |x| → 0. Sipas teoremës së policit, rezulton lim₍ₓ,ᵧ₎→₍₀,₀₎ x⁴ / [x(x² + y²)] = 0. Pra, edhe pika (0, 0) është pikë këputjeje e mënjanueshme. Duke e përcaktuar funksionin me vlerën e limitit në pikat ku fillimisht nuk ishte i përcaktuar, marrim shtrirjen: f̅(x, y) = x⁴ / [x(x² + y²)], për x ≠ 0; 0, për x = 0. Funksioni f̅(x, y) është shtrirje e funksionit f(x, y) në pikat e këputjes së mënjanueshme dhe është i vazhdueshëm në të gjithë ℝ². (a) Funksioni f(x, y) = 2 / (x² − y) është i vazhdueshëm jashtë parabolës y = x². Të gjitha pikat e kësaj parabole janë pika këputjeje të thelbësore. (b) Funksioni f(x, y) = x⁴ / [x(x² + y²)] është i vazhdueshëm jashtë boshtit Oy. Të gjitha pikat e boshtit Oy janë pika këputjeje të mënjanueshme. Duke e përcaktuar funksionin me vlerën 0 për x = 0, fitojmë një funksion të vazhdueshëm në të gjithë ℝ².