Të provohet se seria harmonike alternative ∑ₙ₌₁^∞ (−1)ⁿ⁺¹/n konvergjon, por jo absolutisht. Gjithashtu, të jepet teorema mbi lidhjen ndërmjet konvergjencës absolute dhe konvergjencës së zakonshme.

Hapi 1. Provimi i konvergjencës së serisë harmonike alternative Shqyrtojmë serinë ∑ₙ₌₁^∞ (−1)ⁿ⁺¹/n = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ⋯ Për të provuar konvergjencën, zbatojmë kriterin për seritë alternative. Termi i përgjithshëm në vlerë absolute është aₙ = 1/n. Kontrollojmë kushtet e kriterit: 1. Termat janë pozitivë: aₙ = 1/n > 0. 2. Vargu është zbritës: 1/(n + 1) < 1/n. 3. Limiti i termit të përgjithshëm është zero limₙ→∞ 1/n = 0. Meqenëse plotësohen të gjitha kushtet e kriterit për seritë alternative, seria e dhënë konvergjon. Hapi 2. Provimi se seria nuk konvergjon absolutisht Për të studiuar konvergjencën absolute, marrim vlerat absolute të termave të serisë: ∑ₙ₌₁^∞ |(−1)ⁿ⁺¹/n| = ∑ₙ₌₁^∞ 1/n. Seria e përftuar është seria harmonike, e cila është p-seri me p = 1. Dihet se p-seria ∑ₙ₌₁^∞ 1/n divergon, sepse konvergjenca e p-serisë kërkon p > 1. Prandaj, seria harmonike alternative nuk konvergjon absolutisht. Sipas përkufizimit, një seri ∑aₙ konvergjon në mënyrë të kushtëzuar nëse konvergjon, por nuk konvergjon absolutisht. Hapi 3. Teorema mbi lidhjen ndërmjet konvergjencës absolute dhe asaj të zakonshme Teorema: Nëse seria ∑aₙ konvergjon absolutisht, atëherë ajo konvergjon edhe në kuptimin e zakonshëm. Pra, nëse seria ∑ₙ₌₁^∞ |aₙ| konvergjon, atëherë konvergjon edhe seria ∑ₙ₌₁^∞ aₙ. Hapi 4. Vërtetimi i teoremës Shkruajmë termin e përgjithshëm në formën aₙ = (|aₙ| + aₙ) − |aₙ|. Nga kushti i konvergjencës absolute kemi se seria ∑|aₙ| konvergjon. Gjithashtu, për çdo n vlen mosbarazimi 0 ≤ |aₙ| + aₙ ≤ 2|aₙ|. Sipas kriterit bazë të krahasimit, meqenëse seria ∑2|aₙ| konvergjon, edhe seria ∑ₙ₌₁^∞ (|aₙ| + aₙ) konvergjon. Nga barazimi aₙ = (|aₙ| + aₙ) − |aₙ| rrjedh se seria ∑aₙ është diferenca e dy serive konvergjente. Prandaj, edhe seria ∑aₙ konvergjon. Kështu vërtetohet teorema. Seria harmonike alternative ∑ₙ₌₁^∞ (−1)ⁿ⁺¹/n konvergjon, por jo absolutisht. Prandaj, ajo është konvergjente në mënyrë të kushtëzuar. Gjithashtu, çdo seri që konvergjon absolutisht konvergjon edhe në kuptimin e zakonshëm, por e kundërta nuk është gjithmonë e vërtetë.