Të studiohet konvergjenca e serive me ndihmën e kriterit të Dalamberit: a) ∑ₙ₌₁^∞ n²/eⁿ b) ∑ₙ₌₁^∞ n/2ⁿ c) ∑ₙ₌₁^∞ nⁿ/n! d) ∑ₙ₌₁^∞ n!/eⁿ

Hapi 1. Studimi i serisë a) Shqyrtojmë serinë ∑ₙ₌₁^∞ n²/eⁿ. Sipas kriterit të Dalamberit, llogaritim raportin Dₙ = aₙ₊₁/aₙ. Duke zëvendësuar termin e përgjithshëm, marrim Dₙ = [(n + 1)²/eⁿ⁺¹] · [eⁿ/n²]. Thjeshtojmë shprehjen Dₙ = (1/e) · ((n + 1)/n)². Kalojmë në kufi kur n → ∞: limₙ→∞ Dₙ = (1/e) · 1 = 1/e < 1. Meqenëse kufiri është më i vogël se 1, sipas kriterit të Dalamberit, seria konvergjon. Hapi 2. Studimi i serisë b) Shqyrtojmë serinë ∑ₙ₌₁^∞ n/2ⁿ. Llogaritim raportin e Dalamberit Dₙ = [(n + 1)/2ⁿ⁺¹] · [2ⁿ/n]. Thjeshtojmë Dₙ = (1/2) · (n + 1)/n. Kalojmë në kufi kur n → ∞: limₙ→∞ Dₙ = 1/2 < 1. Meqenëse kufiri është më i vogël se 1, sipas kriterit të Dalamberit, seria konvergjon. Hapi 3. Studimi i serisë c) Shqyrtojmë serinë ∑ₙ₌₁^∞ nⁿ/n!. Llogaritim raportin e Dalamberit Dₙ = [(n + 1)ⁿ⁺¹/(n + 1)!] · [n!/nⁿ]. Duke thjeshtuar, marrim Dₙ = ((n + 1)/n)ⁿ · 1/(n + 1). E shprehim në formën Dₙ = (1 + 1/n)ⁿ · 1/(n + 1). Dihet se limₙ→∞ (1 + 1/n)ⁿ = e. Prandaj limₙ→∞ Dₙ = e · 0 = 0 < 1. Meqenëse kufiri është më i vogël se 1, sipas kriterit të Dalamberit, seria konvergjon. Hapi 4. Studimi i serisë d) Shqyrtojmë serinë ∑ₙ₌₁^∞ n!/eⁿ. Llogaritim raportin e Dalamberit Dₙ = [(n + 1)!/eⁿ⁺¹] · [eⁿ/n!]. Duke thjeshtuar, marrim Dₙ = (n + 1)/e. Kalojmë në kufi kur n → ∞: limₙ→∞ Dₙ = ∞ > 1. Meqenëse kufiri është më i madh se 1, sipas kriterit të Dalamberit, seria divergon. Seritë a), b) dhe c) konvergjojnë, ndërsa seria d) divergon, sipas kriterit të Dalamberit.