Studioni natyrën e serisë ∑ₙ₌₁^∞ (ln n)/n.

Hapi 1. Shqyrtimi i funksionit Shqyrtojmë funksionin f(x) = (ln x)/x. Ky funksion është i vazhdueshëm në [1, ∞) dhe zbritës për x > e, sepse derivati i tij është: f′(x) = (ln x / x)′ = (1 − ln x)/x² < 0, për x > e. Meqenëse f(n) = (ln n)/n është termi i përgjithshëm i serisë së dhënë, zbatojmë kriterin integral. Natyra e serisë përcaktohet nga integrali: limₙ→∞ ∫₁ⁿ (ln x)/x dx. Hapi 2. Llogaritja e integralit Llogaritim integralin duke përdorur metodën e zëvendësimit. Vendosim: u = ln x du = dx/x. Atëherë: ∫₁ⁿ (ln x)/x dx = ∫₀ˡⁿ ⁿ u du. Duke integruar, marrim: ∫₀ˡⁿ ⁿ u du = [u²/2]₀ˡⁿ ⁿ. Prandaj: ∫₁ⁿ (ln x)/x dx = (ln n)²/2. Hapi 3. Kalimi në kufi Kalojmë në kufi kur n → ∞: limₙ→∞ ∫₁ⁿ (ln x)/x dx = limₙ→∞ (ln n)²/2 = ∞. Meqenëse integrali divergon drejt pafundësisë, sipas kriterit integral edhe seria e dhënë divergon. Seria ∑ₙ₌₁^∞ (ln n)/n divergon, sipas kriterit integral.