Përafroni shumën e serisë alternative ∑ₙ₌₁^∞ (−1)ⁿ⁺¹/n⁴ me shumën e pjesshme të rendit 40 dhe vlerësoni gabimin e këtij përafrimi. Gjithashtu, gjeni rendin n të shumës së pjesshme që garanton një saktësi prej 10⁻¹⁰.

Hapi 1. Llogaritja e shumës së pjesshme të rendit 40 Shqyrtojmë serinë alternative S = 1 − 1/2⁴ + 1/3⁴ − 1/4⁴ + ⋯ Shuma e pjesshme e rendit 40 jepet nga formula S₄₀ = ∑ₙ₌₁⁴⁰ (−1)ⁿ⁺¹/n⁴. Duke zëvendësuar n me vlerat nga 1 deri në 40, marrim S₄₀ = 1 − 1/16 + 1/81 − 1/256 + 1/625 − ⋯ − 1/40⁴. Duke kryer mbledhjet dhe zbritjet e këtyre termave, marrim vlerën e përafërt S₄₀ ≈ 0,9470326439. Hapi 2. Vlerësimi i gabimit të përafrimit Sipas kriterit të gabimit për seritë alternative konvergjente, gabimi absolut nuk është më i madh se vlera absolute e termit të parë të papërfshirë në shumën e pjesshme. Prandaj |S − S₄₀| ≤ |a₄₁|. Meqenëse termi i përgjithshëm është aₙ = (−1)ⁿ⁺¹/n⁴, kemi |a₄₁| = 1/41⁴. Llogarisim fuqinë 41⁴ = 41 · 41 · 41 · 41 = 2 825 761. Prandaj |S − S₄₀| ≤ 1/2 825 761. Duke kryer pjesëtimin, marrim |S − S₄₀| ≤ 0,0000003539. Në formë shkencore |S − S₄₀| ≤ 3,54 · 10⁻⁷. Pra, gabimi absolut i përafrimit të rendit 40 nuk e kalon këtë kufi. Hapi 3. Gjetja e rendit që garanton saktësinë 10⁻¹⁰ Kërkojmë rendin n për të cilin gabimi absolut plotëson kushtin |S − Sₙ| ≤ 10⁻¹⁰. Sipas kriterit të gabimit për seritë alternative, kemi |S − Sₙ| ≤ 1/(n + 1)⁴. Prandaj, mjafton që 1/(n + 1)⁴ ≤ 10⁻¹⁰. Duke shumëzuar të dy anët me (n + 1)⁴ · 10¹⁰, marrim (n + 1)⁴ ≥ 10¹⁰. Marrim rrënjën e katërt të të dy anëve n + 1 ≥ ⁴√(10¹⁰). Meqenëse ⁴√(10¹⁰) = 10²·⁵ = 100√10 ≈ 316,2278, marrim n + 1 ≥ 316,2278. Meqenëse n është numër i plotë, duhet të kemi n + 1 ≥ 317. Prandaj n ≥ 316. Hapi 4. Përafrimi me shumën e pjesshme të rendit 316 Për rendin n = 316, shuma e pjesshme është S₃₁₆ = ∑ₙ₌₁³¹⁶ (−1)ⁿ⁺¹/n⁴. Duke llogaritur shumën e këtyre 316 termave, marrim vlerën e përafërt S₃₁₆ ≈ 0,9470326439. Gabimi i këtij përafrimi plotëson kushtin |S − S₃₁₆| ≤ 1/317⁴. Meqenëse 317⁴ = 10 080 399 361, atëherë |S − S₃₁₆| ≤ 1/10 080 399 361 ≈ 9,92 · 10⁻¹¹. Dhe, meqenëse 9,92 · 10⁻¹¹ < 10⁻¹⁰,saktësia e kërkuar garantohet. Shuma e pjesshme e rendit 40 jep përafrimin S₄₀ ≈ 0,9470326439, me gabim absolut jo më të madh se 3,54 · 10⁻⁷. Për të garantuar saktësinë 10⁻¹⁰, duhet të përdoret të paktën shuma e pjesshme e rendit n = 316.