Përcaktoni, në varësi të parametrit p, natyrën e serisë ∑ₙ₌₁^∞ 1/nᵖ.

Hapi 1. Rasti p ≤ 0 Për p < 0 kemi aₙ = 1/nᵖ → ∞, kur n → ∞. Nga kriteri i mjaftueshëm i divergjencës rrjedh se seria ∑ₙ₌₁^∞ 1/nᵖ divergon. Për p = 0 kemi: aₙ = 1/n⁰ = 1. Atëherë, edhe për këtë vlerë të parametrit, seria divergon. Hapi 2. Rasti p > 0 Shqyrtojmë funksionin: f(x) = 1/xᵖ, në [1, ∞). Ky funksion është i vazhdueshëm dhe zbritës, sepse: f′(x) = (x⁻ᵖ)′ = −p x⁻ᵖ⁻¹ < 0. Për çdo n ∈ ℕ kemi: f(n) = 1/nᵖ. Kështu, plotësohen kushtet e kriterit integral. Si rrjedhim, natyra e serisë është e njëjtë me natyrën e integralit të papërcaktuar nga kufiri: limₙ→∞ ∫₁ⁿ 1/xᵖ dx. Hapi 3. Rasti p > 0 dhe p ≠ 1 Llogarisim integralin ∫₁ⁿ 1/xᵖ dx = ∫₁ⁿ x⁻ᵖ dx. Duke zbatuar formulën e integrimit të fuqisë, marrim ∫₁ⁿ x⁻ᵖ dx = [x¹⁻ᵖ/(1 − p)]₁ⁿ. Prandaj ∫₁ⁿ 1/xᵖ dx = (n¹⁻ᵖ − 1)/(1 − p). Nëse p > 1, atëherë 1 − p < 0 dhe n¹⁻ᵖ → 0, kur n → ∞. Prandaj: limₙ→∞ (n¹⁻ᵖ − 1)/(1 − p) = 1/(p − 1). Ky kufi është i fundëm, prandaj seria konvergjon. Nëse 0 < p < 1, atëherë 1 − p > 0 dhe n¹⁻ᵖ → ∞, kur n → ∞. Prandaj: limₙ→∞ (n¹⁻ᵖ − 1)/(1 − p) = ∞. Në këtë rast, seria divergon. Hapi 4. Rasti p = 1 Për p = 1 kemi: ∫₁ⁿ 1/x dx = ln n. Meqenëse: limₙ→∞ ln n = ∞, seria divergon. Duke përmbledhur të gjitha rastet, seria ∑ₙ₌₁^∞ 1/nᵖ konvergjon vetëm për p > 1, ndërsa divergon për p ≤ 1.