Duke përdorur kriterin e konvergjencës absolute, studioni konvergjencën e serisë: ∑ₙ₌₁^∞ sin(n) / n³

Hapi 1. Zgjedhja e kriterit të konvergjencës Vërejmë se seria nuk ka vetëm terma pozitivë dhe nuk është domosdoshmërisht një seri alternative. Prandaj, për të studiuar konvergjencën e saj, përdorim kriterin e konvergjencës absolute. Hapi 2. Shqyrtimi i serisë së vlerave absolute Shqyrtojmë serinë e vlerave absolute ∑ₙ₌₁^∞ |sin(n) / n³| Meqenëse |sin(n)| ≤ 1 për çdo n ∈ ℕ, kemi: |sin(n) / n³| = |sin(n)| / n³ ≤ 1 / n³ Pra, për çdo n ≥ 1, vlen pabarazia 0 ≤ |sin(n) / n³| ≤ 1 / n³ Hapi 3. Zbatimi i kriterit bazë të krahasimit Shqyrtojmë serinë ∑ₙ₌₁^∞ 1 / n³ Kjo është një p-seri me p = 3. Meqenëse p > 1, seria është konvergjente. Nga kriteri bazë i krahasimit, duke qenë se 0 ≤ |sin(n) / n³| ≤ 1 / n³ dhe seria ∑ₙ₌₁^∞ 1 / n³ konvergon, përfundojmë se edhe seria e vlerave absolute ∑ₙ₌₁^∞ |sin(n) / n³| konvergon. Meqenëse seria e vlerave absolute konvergon, sipas kriterit të konvergjencës absolute, edhe seria fillestare ∑ₙ₌₁^∞ sin(n) / n³ konvergon absolutisht. Prandaj, seria është konvergjente.