Të tregohet se seria funksionale ∑ₙ₌₁^∞ (−1)ⁿ / (n + x) konvergon njëtrajtësisht në intervalin [0, +∞), por nuk konvergon normalisht në këtë interval.

Hapi 1. Studimi i konvergjencës së serisë Për çdo x ∈ [0, +∞), shqyrtojmë serinë funksionale ∑ₙ₌₁^∞ (−1)ⁿ / (n + x). Kjo është një seri alternative, sepse shenjat e termave ndryshojnë në mënyrë të alternuar. Për çdo x ≥ 0, vargu i vlerave absolute të termave është 1 / (n + x). Ky varg është pozitiv, monoton zbritës në lidhje me n dhe plotëson kushtin limₙ→∞ 1 / (n + x) = 0. Prandaj, sipas kriterit të serive alternative, seria konvergon për çdo x ∈ [0, +∞). Hapi 2. Vlerësimi i mbetjes së serisë Shënojmë me Rₙ(x) mbetjen e serisë pas n termave të parë. Sipas kriterit të serive alternative, kemi |Rₙ(x)| ≤ 1 / (n + 1 + x). Meqenëse x ≥ 0, rezulton se 1 / (n + 1 + x) ≤ 1 / (n + 1). Prandaj, për çdo x ∈ [0, +∞), vlen |Rₙ(x)| ≤ 1 / (n + 1). Duke marrë supremumin për të gjitha x në intervalin [0, +∞), marrim supₓ∈[0,+∞) |Rₙ(x)| ≤ 1 / (n + 1). Meqenëse limₙ→∞ 1 / (n + 1) = 0,përfundojmë se: limₙ→∞ supₓ∈[0,+∞) |Rₙ(x)| = 0. Kjo vërteton se mbetja e serisë konvergon njëtrajtësisht drejt zeros. Rrjedhimisht, seria funksionale konvergon njëtrajtësisht në intervalin [0, +∞). Hapi 3. Studimi i konvergjencës normale Për të shqyrtuar konvergjencën normale, llogarisim supremumin e vlerës absolute të termit të përgjithshëm supₓ∈[0,+∞) |(−1)ⁿ / (n + x)|. Meqenëse n + x ≥ n për çdo x ≥ 0, kemi |(−1)ⁿ / (n + x)| = 1 / (n + x) ≤ 1 / n. Barazia arrihet për x = 0. Prandaj supₓ∈[0,+∞) |(−1)ⁿ / (n + x)| = 1 / n. Kështu, seria e supremumeve është ∑ₙ₌₁^∞ supₓ∈[0,+∞) |(−1)ⁿ / (n + x)| = ∑ₙ₌₁^∞ 1 / n. Kjo është seria harmonike, e cila divergon. Prandaj, seria funksionale nuk konvergon normalisht në intervalin [0, +∞). Seria funksionale ∑ₙ₌₁^∞ (−1)ⁿ / (n + x) konvergon njëtrajtësisht në intervalin [0, +∞), sepse mbetja e saj konvergon njëtrajtësisht drejt zeros. Megjithatë, seria nuk konvergon normalisht në këtë interval, sepse seria e supremumeve të vlerave absolute të termave është seria harmonike, e cila divergon.