Provoni që ∑ₙ₌₀^∞ xⁿ = 1 / (1 − x), për −1 < x < 1.

Hapi 1. Llogaritja e shumës së pjesshme Llogaritim fillimisht shumën e pjesshme të serisë Sₙ(x) = ∑ₖ₌₀ⁿ xᵏ. Duke e shkruar në formë të zhvilluar, kemi Sₙ(x) = 1 + x + x² + ⋯ + xⁿ. Hapi 2. Zbatimi i formulës së shumës së progresionit gjeometrik Duke përdorur formulën e shumës së një progresioni gjeometrik, për x ≠ 1, marrim Sₙ(x) = (1 − xⁿ⁺¹) / (1 − x). Hapi 3. Kalimi në limit Për −1 < x < 1, kemi: limₙ→∞ xⁿ⁺¹ = 0. Prandaj limₙ→∞ Sₙ(x) = limₙ→∞ [(1 − xⁿ⁺¹) / (1 − x)]. Meqenëse x është i fiksuar dhe 1 − x ≠ 0, përfundojmë limₙ→∞ Sₙ(x) = (1 − 0) / (1 − x) = 1 / (1 − x). Seria gjeometrike konvergon për −1 < x < 1 dhe shuma e saj është ∑ₙ₌₀^∞ xⁿ = 1 / (1 − x).