Për vargun funksional fₙ(x) = 1 / (1 + x² + x⁴/n),gjeni limitin limₙ→∞ ∫₀¹ 1 / (1 + x² + x⁴/n) dx.

Hapi 1. Gjetja e funksionit limit Vërejmë se funksioni limit i vargut funksional është f(x) = limₙ→∞ 1 / (1 + x² + x⁴/n). Meqenëse x⁴/n → 0 kur n → ∞, për çdo x ∈ [0, 1], marrim f(x) = 1 / (1 + x²). Pra, vargu funksional konvergon pikësisht në funksionin f(x) = 1 / (1 + x²) në intervalin [0, 1]. Hapi 2. Vlerësimi i diferencës ndërmjet funksioneve Për të studiuar konvergjencën e njëtrajtshme, shqyrtojmë diferencën: |fₙ(x) − f(x)| = |1 / (1 + x² + x⁴/n) − 1 / (1 + x²)|. Duke bashkuar thyesat, marrim |fₙ(x) − f(x)| = (x⁴/n) / [(1 + x² + x⁴/n)(1 + x²)]. Meqenëse x ∈ [0, 1], kemi 0 ≤ x⁴ ≤ 1, prandaj x⁴/n ≤ 1/n. Gjithashtu, emëruesi plotëson pabarazinë (1 + x² + x⁴/n)(1 + x²) ≥ 1. Rrjedhimisht 0 ≤ |fₙ(x) − f(x)| ≤ 1/n. Duke marrë supremumin për x ∈ [0, 1], përfundojmë sepse supₓ∈[0,1] |fₙ(x) − f(x)| ≤ 1/n. Hapi 3. Vërtetimi i konvergjencës së njëtrajtshme Meqenëse limₙ→∞ 1/n = 0,dhe 0 ≤ supₓ∈[0,1] |fₙ(x) − f(x)| ≤ 1/n, sipas teoremës së shtrëngimit, kemi limₙ→∞ supₓ∈[0,1] |fₙ(x) − f(x)| = 0. Kjo vërteton se vargu funksional fₙ(x) konvergon në mënyrë të njëtrajtshme drejt funksionit f(x) = 1 / (1 + x²) në intervalin [0, 1]. Hapi 4. Kalimi në limit nën shenjën e integralit Meqenëse vargu funksional konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në intervalin [0, 1], mund të zbatojmë teoremën e kalimit në limit nën shenjën e integralit: limₙ→∞ ∫₀¹ 1 / (1 + x² + x⁴/n) dx = ∫₀¹ limₙ→∞ 1 / (1 + x² + x⁴/n) dx. Duke zëvendësuar funksionin limit, marrim limₙ→∞ ∫₀¹ 1 / (1 + x² + x⁴/n) dx = ∫₀¹ 1 / (1 + x²) dx. Hapi 5. Llogaritja e integralit Përdorim formulën ∫ 1 / (1 + x²) dx = arctan(x) + C. Prandaj ∫₀¹ 1 / (1 + x²) dx = [arctan(x)]₀¹. Duke zëvendësuar kufijtë e integrimit, marrim: = arctan(1) − arctan(0) = π/4 − 0 = π/4. Vargu funksional konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në intervalin [0, 1] drejt funksionit f(x) = 1 / (1 + x²). Duke zbatuar teoremën e kalimit në limit nën shenjën e integralit dhe duke llogaritur integralin përkatës, përfundojmë se: limₙ→∞ ∫₀¹ 1 / (1 + x² + x⁴/n) dx = π/4.