Jepet seria funksionale S(x) = ∑ₙ₌₀^∞ sin(3ⁿx) / (−4)ⁿ. Të vërtetohet se shuma S(x) është e vazhdueshme dhe e derivueshme, si dhe të llogariten: 1. S′(π) 2. ∫₀^(π/₂) S(x) dx

Hapi 1. Vërtetojmë vazhdimësinë e S(x). Marrim termin e përgjithshëm të serisë uₙ(x) = sin(3ⁿx) / (−4)ⁿ. Për çdo x ∈ ℝ kemi |sin(3ⁿx)| ≤ 1. Prandaj |uₙ(x)| = |sin(3ⁿx) / (−4)ⁿ| ≤ 1 / 4ⁿ. Seria numerike ∑ₙ₌₀^∞ 1 / 4ⁿ është seri gjeometrike me herës q = 1/4 < 1, prandaj konvergon. Nga kriteri i Weierstrass-it, seria funksionale konvergon njëtrajtësisht në ℝ. Meqenëse çdo funksion uₙ(x) është i vazhdueshëm, atëherë edhe shuma S(x) është e vazhdueshme në ℝ. Hapi 2. Llogarisim integralin. Meqenëse seria konvergon njëtrajtësisht, mund të integrojmë term më term ∫₀^(π/₂) S(x) dx = ∑ₙ₌₀^∞ [1 / (−4)ⁿ] ∫₀^(π/₂) sin(3ⁿx) dx. Llogarisim integralin ∫ sin(3ⁿx) dx = −cos(3ⁿx) / 3ⁿ. Prandaj ∫₀^(π/₂) sin(3ⁿx) dx = [−cos(3ⁿx) / 3ⁿ]₀^(π/₂) = [1 − cos(3ⁿπ/2)] / 3ⁿ. Meqenëse 3ⁿ është numër tek, kemi cos(3ⁿπ/2) = 0. Kështu ∫₀^(π/₂) S(x) dx = ∑ₙ₌₀^∞ 1 / [(−4)ⁿ3ⁿ] = ∑ₙ₌₀^∞ 1 / (−12)ⁿ. Kjo është seri gjeometrike me herës q = −1/12. Përdorim formulën e shumës së serisë gjeometrike: ∑ₙ₌₀^∞ qⁿ = 1 / (1 − q). Prandaj ∫₀^(π/₂) S(x) dx = 1 / [1 − (−1/12)] = 1 / (1 + 1/12) = 12 / 13. Hapi 3. Vërtetojmë derivueshmërinë e S(x). Derivojmë termin e përgjithshëm uₙ(x) = sin(3ⁿx) / (−4)ⁿ. Marrim uₙ′(x) = 3ⁿcos(3ⁿx) / (−4)ⁿ = (−3/4)ⁿ cos(3ⁿx). Meqenëse |cos(3ⁿx)| ≤ 1, kemi |uₙ′(x)| ≤ (3/4)ⁿ. Seria numerike ∑ₙ₌₀^∞ (3/4)ⁿ është seri gjeometrike me herës q = 3/4 < 1, prandaj konvergon. Sipas kriterit të Weierstrass-it, seria e derivateve konvergon njëtrajtësisht në ℝ. Meqenëse seria fillestare konvergon në të paktën një pikë dhe seria e derivateve konvergon njëtrajtësisht, përfundojmë se S(x) është e derivueshme në ℝ dhe: S′(x) = ∑ₙ₌₀^∞ 3ⁿcos(3ⁿx) / (−4)ⁿ. Hapi 4. Llogarisim S′(π). Vendosim x = π në shprehjen e derivatit: S′(π) = ∑ₙ₌₀^∞ 3ⁿcos(3ⁿπ) / (−4)ⁿ. Meqenëse 3ⁿ është numër tek, kemi cos(3ⁿπ) = −1. Prandaj S′(π) = −∑ₙ₌₀^∞ 3ⁿ / (−4)ⁿ = −∑ₙ₌₀^∞ (−3/4)ⁿ. Përdorim formulën e shumës së serisë gjeometrike S′(π) = −1 / [1 − (−3/4)] = −1 / (1 + 3/4) = −1 / (7/4) = −4/7. Seria funksionale konvergon njëtrajtësisht në ℝ, prandaj S(x) është e vazhdueshme në ℝ. Gjithashtu, seria e derivateve konvergon njëtrajtësisht dhe S(x) është e derivueshme në ℝ. Rezultatet përfundimtare janë S′(π) = −4/7 ∫₀^(π/₂) S(x) dx = 12/13.