Provoni që zona e konvergjencës së serisë ∑ₙ₌₁^∞ xⁿ / n² është segmenti [−1]

Hapi 1. Gjejmë rrezen e konvergjencës. Vargu i koeficientëve është aₙ = 1 / n². Përdorim kriterin e Dalamberit Dₙ = |aₙ₊₁ / aₙ| Dₙ = |[1 / (n + 1)²] · n²| Dₙ = n² / (n + 1)². Duke kaluar në limit, marrim limₙ→∞ Dₙ = limₙ→∞ n² / (n + 1)² = 1. Prandaj, rrezja e konvergjencës është R = 1. Intervali fillestar i konvergjencës është (−1, 1). Duhet të studiojmë konvergjencën në skajet e intervalit. Hapi 2. Kontrollojmë skajin x = −1. Zëvendësojmë x = −1 në serinë e dhënë ∑ₙ₌₁^∞ (−1)ⁿ / n². Shqyrtojmë serinë e vlerave absolute: ∑ₙ₌₁^∞ |(−1)ⁿ / n²| = ∑ₙ₌₁^∞ 1 / n². Kjo është një seri p me p = 2 > 1, prandaj konvergon. Kështu, seria fillestare konvergon absolutisht për x = −1. Hapi 3. Kontrollojmë skajin x = 1. Zëvendësojmë x = 1 në serinë e dhënë ∑ₙ₌₁^∞ 1 / n². Kjo është një seri p me p = 2 > 1, prandaj konvergon. Kështu, x = 1 përfshihet në zonën e konvergjencës. Seria konvergon në të dyja pikat skajore x = −1 dhe x = 1. Prandaj, zona e konvergjencës është segmenti: [−1, 1].