Për serinë funksionale ∑ₙ₌₀^∞ sin(3ⁿx) / (−4)ⁿ, provoni se ajo konvergon në ℝ dhe se shuma e serisë është e vazhdueshme, e derivueshme dhe e integrueshme në çdo segment të fundëm. Llogaritni: S′(π) dhe ∫₀^(π/2) S(x) dx, ku S(x) = ∑ₙ₌₀^∞ sin(3ⁿx) / (−4)ⁿ.

Hapi 1. Vërtetimi i konvergjencës dhe vazhdimësisë Le të jetë uₙ(x) = sin(3ⁿx) / (−4)ⁿ. Për çdo x ∈ ℝ dhe çdo n ∈ ℕ₀, kemi |sin(3ⁿx)| ≤ 1. Prandaj |sin(3ⁿx) / (−4)ⁿ| ≤ 1 / 4ⁿ. Shqyrtojmë serinë numerike ∑ₙ₌₀^∞ 1 / 4ⁿ. Kjo është një seri gjeometrike me herës q = 1/4. Meqenëse |q| < 1, seria konvergon dhe shuma e saj është: ∑ₙ₌₀^∞ 1 / 4ⁿ = 1 / (1 − 1/4) = 4/3. Nga kriteri M i Vajershtrassit, seria funksionale ∑ₙ₌₀^∞ sin(3ⁿx) / (−4)ⁿ konvergon absolutisht dhe njëtrajtësisht në ℝ. Meqenëse çdo funksion uₙ(x) është i vazhdueshëm në ℝ dhe seria konvergon njëtrajtësisht, shuma e saj S(x) është e vazhdueshme në ℝ. Hapi 2. Vërtetimi i integrueshmërisë dhe njehsimi i integralit Meqenëse seria konvergon njëtrajtësisht në çdo segment të fundëm, mund të integrojmë term më term: ∫ₐᵇ S(x) dx = ∑ₙ₌₀^∞ ∫ₐᵇ sin(3ⁿx) / (−4)ⁿ dx. Për a = 0 dhe b = π/2, marrim ∫₀^(π/2) S(x) dx = ∑ₙ₌₀^∞ 1/(−4)ⁿ ∫₀^(π/2) sin(3ⁿx) dx. Llogarisim integralin ∫ sin(3ⁿx) dx = −cos(3ⁿx) / 3ⁿ. Prandaj ∫₀^(π/2) sin(3ⁿx) dx = [−cos(3ⁿx) / 3ⁿ]₀^(π/2). Duke zëvendësuar kufijtë, marrim = [−cos(3ⁿπ/2) + cos(0)] / 3ⁿ = [1 − cos(3ⁿπ/2)] / 3ⁿ. Meqenëse 3ⁿ është numër tek, kemi cos(3ⁿπ/2) = 0. Prandaj ∫₀^(π/2) sin(3ⁿx) dx = 1 / 3ⁿ. Kështu ∫₀^(π/2) S(x) dx = ∑ₙ₌₀^∞ 1 / [(−4)ⁿ · 3ⁿ] = ∑ₙ₌₀^∞ 1 / (−12)ⁿ. Kjo është një seri gjeometrike me herës q = −1/12. Meqenëse |q| < 1, shuma e saj është ∑ₙ₌₀^∞ 1 / (−12)ⁿ = 1 / [1 − (−1/12)] = 1 / (1 + 1/12) = 1 / (13/12) = 12/13. Pra: ∫₀^(π/2) S(x) dx = 12/13. Hapi 3. Vërtetimi i derivueshmërisë Kemi uₙ(x) = sin(3ⁿx) / (−4)ⁿ. Duke derivuar sipas x, marrim uₙ′(x) = 3ⁿ cos(3ⁿx) / (−4)ⁿ. Për çdo x ∈ ℝ, kemi |cos(3ⁿx)| ≤ 1. Prandaj |uₙ′(x)| ≤ 3ⁿ / 4ⁿ = (3/4)ⁿ. Shqyrtojmë serinë numerike ∑ₙ₌₀^∞ (3/4)ⁿ. Kjo është një seri gjeometrike me herës q = 3/4. Meqenëse |q| < 1, ajo konvergon dhe shuma e saj është ∑ₙ₌₀^∞ (3/4)ⁿ = 1 / (1 − 3/4) = 4. Nga kriteri M i Vajershtrassit, seria e derivateve ∑ₙ₌₀^∞ 3ⁿ cos(3ⁿx) / (−4)ⁿ konvergon njëtrajtësisht në ℝ. Meqenëse seria fillestare konvergon në të paktën një pikë dhe seria e derivateve konvergon njëtrajtësisht në ℝ, zbatojmë teoremën e derivimit term më term. Për rrjedhojë, S(x) është e derivueshme në ℝ dhe S′(x) = ∑ₙ₌₀^∞ 3ⁿ cos(3ⁿx) / (−4)ⁿ. Hapi 4. Njehsimi i S′(π) Vendosim x = π në formulën e derivatit S′(π) = ∑ₙ₌₀^∞ 3ⁿ cos(3ⁿπ) / (−4)ⁿ. Meqenëse 3ⁿ është numër tek, kemi cos(3ⁿπ) = −1. Prandaj S′(π) = ∑ₙ₌₀^∞ (−3ⁿ) / (−4)ⁿ = −∑ₙ₌₀^∞ (−3/4)ⁿ. Duke përdorur formulën e shumës së serisë gjeometrike, marrim S′(π) = −1 / [1 − (−3/4)] = −1 / (1 + 3/4) = −1 / (7/4) = −4/7. Pra: S′(π) = −4/7. Seria funksionale ∑ₙ₌₀^∞ sin(3ⁿx) / (−4)ⁿ konvergon absolutisht dhe njëtrajtësisht në ℝ, sipas kriterit M të Vajershtrassit. Për rrjedhojë, shuma S(x) është e vazhdueshme dhe e integrueshme në çdo segment të fundëm. Gjithashtu, seria e derivateve konvergon njëtrajtësisht, prandaj S(x) është e derivueshme në ℝ. Rezultatet e kërkuara janë S′(π) = −4/7 ∫₀^(π/2) S(x) dx = 12/13.