Provoni që seria binomiale (1 + x)ᵅ = 1 + αx + [α(α − 1) / 2!]x² + [α(α − 1)(α − 2) / 3!]x³ + ⋯ + [α(α − 1)⋯(α − n + 1) / n!]xⁿ + ⋯ është e barabartë me (1 + x)ᵅ për x ∈ (−1, 1). Koeficienti binomial përcaktohet nga formula Cₙᵅ = α(α − 1)⋯(α − n + 1) / n!. Seria binomiale mund të shkruhet në trajtën ∑ₙ₌₀^∞ [α(α − 1)⋯(α − n + 1) / n!]xⁿ = ∑ₙ₌₀^∞ Cₙᵅxⁿ.

Hapi 1. Gjejmë koeficientët e serisë së Maklorenit. Marrim funksionin f(x) = (1 + x)ᵅ. Llogarisim derivatet e njëpasnjëshme: f(0) = 1. f′(x) = α(1 + x)ᵅ⁻¹, f′(0) = α. f″(x) = α(α − 1)(1 + x)ᵅ⁻², f″(0) = α(α − 1). f‴(x) = α(α − 1)(α − 2)(1 + x)ᵅ⁻³, f‴(0) = α(α − 1)(α − 2). Në përgjithësi f⁽ⁿ⁾(x) = α(α − 1)⋯(α − n + 1)(1 + x)ᵅ⁻ⁿ. Prandaj f⁽ⁿ⁾(0) = α(α − 1)⋯(α − n + 1). Hapi 2. Shkruajmë serinë e Maklorenit. Formula e serisë së Maklorenit është f(x) = f(0) + [f′(0) / 1!]x + [f″(0) / 2!]x² + [f‴(0) / 3!]x³ + ⋯ + [f⁽ⁿ⁾(0) / n!]xⁿ + ⋯ Duke zëvendësuar derivatet e llogaritura, marrim: f(x) = 1 + αx + [α(α − 1) / 2!]x² + [α(α − 1)(α − 2) / 3!]x³ + ⋯ + [α(α − 1)⋯(α − n + 1) / n!]xⁿ + ⋯ Pra, seria e Maklorenit të funksionit f(x) = (1 + x)ᵅ është seria binomiale. Hapi 3. Gjejmë rrezen e konvergjencës. Përdorim kriterin e Dalamberit për termin e përgjithshëm aₙ = [α(α − 1)⋯(α − n + 1) / n!]xⁿ. Për α që nuk është numër i plotë jonegativ, llogarisim: Dₙ = |aₙ₊₁ / aₙ| Dₙ = |[(α − n)x / (n + 1)]|. Duke kaluar në limit, marrim limₙ→∞ Dₙ = |x|. Sipas kriterit të Dalamberit, seria konvergon kur |x| < 1. Prandaj, rrezja e konvergjencës është R = 1 dhe intervali i konvergjencës së brendshme është (−1, 1). Hapi 4. Vërtetojmë se shuma e serisë është (1 + x)ᵅ. Shënojmë me φ(x) = ∑ₙ₌₀^∞ [α(α − 1)⋯(α − n + 1) / n!]xⁿ, për x ∈ (−1, 1). Meqenëse seria konvergon brenda intervalit të saj të konvergjencës, mund ta derivojmë term më term: φ′(x) = ∑ₙ₌₁^∞ [α(α − 1)⋯(α − n + 1) / (n − 1)!]xⁿ⁻¹. Duke shumëzuar me x, marrim xφ′(x) = ∑ₙ₌₁^∞ [α(α − 1)⋯(α − n + 1) / (n − 1)!]xⁿ. Duke mbledhur koeficientët e fuqive me të njëjtin eksponent, përfitojmë φ′(x) + xφ′(x) = αφ(x). Prandaj (1 + x)φ′(x) = αφ(x). Hapi 5. Përcaktojmë funksionin φ(x). Shënojmë me g(x) = φ(x) / (1 + x)ᵅ, për x ∈ (−1, 1). Derivojmë g′(x) = [(1 + x)φ′(x) − αφ(x)] / (1 + x)ᵅ⁺¹. Nga barazimi i provuar në hapin e mëparshëm,(1 + x)φ′(x) = αφ(x),prandaj g′(x) = 0. Kjo tregon se g(x) është funksion konstant në intervalin (−1, 1). Përcaktojmë konstanten duke marrë x = 0: g(0) = φ(0) / (1 + 0)ᵅ = 1. Prandaj, g(x) = 1 dhe rrjedhimisht φ(x) / (1 + x)ᵅ = 1.Kështu φ(x) = (1 + x)ᵅ. Për α që nuk është numër i plotë jonegativ, seria binomiale konvergon për x ∈ (−1, 1) dhe shuma e saj është (1 + x)ᵅ = ∑ₙ₌₀^∞ [α(α − 1)⋯(α − n + 1) / n!]xⁿ. Kjo formulë quhet formula e serisë binomiale.