Gjeni zonën e konvergjencës së serisë polinomiale ∑ₙ₌₁^∞ (n / 6ⁿ)xⁿ.

Hapi 1. Përdorim kriterin e Dalamberit. Kemi termin e përgjithshëm aₙ = n / 6ⁿ. Sipas kriterit të Dalamberit, llogarisim Dₙ = |aₙ₊₁ / aₙ| Dₙ = |[(n + 1) / 6ⁿ⁺¹] · [6ⁿ / n]| Dₙ = (n + 1) / (6n). Duke kaluar në limit, marrim imₙ→∞ Dₙ = limₙ→∞ (n + 1) / (6n) = 1 / 6. Për serinë polinomiale, kriteri i Dalamberit jep |x| / 6 < 1. Prandaj |x| < 6, domethënë −6 < x < 6. Rrezja e konvergjencës është R = 6, ndërsa intervali fillestar i konvergjencës është (−6, 6). Hapi 2. Kontrollojmë skajin x = −6. Zëvendësojmë x = −6 në serinë e dhënë: ∑ₙ₌₁^∞ (n / 6ⁿ)(−6)ⁿ = ∑ₙ₌₁^∞ (−1)ⁿn. Termi i përgjithshëm është aₙ = (−1)ⁿn. Për konvergjencën e një serie është e nevojshme që termi i përgjithshëm të tentojë në zero. Në këtë rast, |aₙ| = n, prandaj termi nuk tenton në zero. Kështu, seria divergon për x = −6. Hapi 3. Kontrollojmë skajin x = 6. Zëvendësojmë x = 6 në serinë e dhënë: ∑ₙ₌₁^∞ (n / 6ⁿ)6ⁿ = ∑ₙ₌₁^∞ n. Termi i përgjithshëm është aₙ = n. Meqë n nuk tenton në zero kur n → ∞, seria divergon për x = 6. Seria konvergon për −6 < x < 6 dhe divergon në të dy skajet, x = −6 dhe x = 6. Prandaj, zona e konvergjencës është (−6, 6).