Provoni që seria funksionale ∑ₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ · x / (n² + x²) konvergon njëtrajtësisht në intervalin [0, +∞).

Hapi 1. Shqyrtimi i kriterit M të Vajershtrassit Për të provuar konvergjencën e njëtrajtshme të serisë në intervalin [0, +∞), fillimisht shqyrtojmë nëse mund të zbatojmë kriterin M të Vajershtrassit. Termi i përgjithshëm i serisë është uₙ(x) = (−1)ⁿ · x / (n² + x²). Për n ≥ 1, kemi |uₙ(x)| = x / (n² + x²). Për të gjetur supremumin e këtij funksioni, llogarisim derivatin f(x) = x / (n² + x²). f′(x) = (n² − x²) / (n² + x²)². Duke barazuar derivatin me zero, marrim n² − x² = 0, prandaj x = n,sepse x ≥ 0. Nga studimi i shenjës së derivatit, funksioni rritet për 0 ≤ x < n dhe zvogëlohet për x > n. Prandaj, maksimumi arrihet në x = n. Kështu supₓ∈[0,+∞) x / (n² + x²) = n / (n² + n²) = 1 / (2n). Pra supₓ∈[0,+∞) |uₙ(x)| = 1 / (2n), për n ≥ 1. Meqenëse seria harmonike ∑ₙ₌₁^∞ 1 / (2n) divergon, nuk mund të zbatojmë kriterin M të Vajershtrassit për të vërtetuar konvergjencën e njëtrajtshme të serisë. Kjo nuk do të thotë se seria nuk konvergon njëtrajtësisht, por vetëm se ky kriter nuk jep përfundimin e kërkuar. Hapi 2. Zbatimi i kriterit të serive alternative Për çdo x > 0, seria ∑ₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ · x / (n² + x²) është alternative. Për të zbatuar kriterin e serive alternative, shqyrtojmë vargun aₙ(x) = x / (n² + x²). Për çdo x > 0, ky varg është pozitiv, zvogëlohet kur n rritet dhe plotëson kushtin limₙ→∞ x / (n² + x²) = 0. Prandaj, seria konvergon për çdo x > 0. Për x = 0, të gjithë termat janë zero për n ≥ 1, ndërsa termi për n = 0 nuk është i përcaktuar në shprehjen 0/0. Për këtë arsye, seria siç është shkruar nuk përcaktohet në x = 0. Megjithatë, duke e plotësuar funksionin me vlerën zero në x = 0, përfundimi i konvergjencës së njëtrajtshme në [0, +∞) mbetet i vlefshëm. Hapi 3. Vlerësimi i mbetjes së serisë Shënojmë me Rₙ(x) mbetjen pas n termave të parë. Nga kriteri i serive alternative, për x > 0 kemi: |Rₙ(x)| ≤ x / [(n + 1)² + x²]. Për të vlerësuar supremumin e anës së djathtë, shqyrtojmë funksionin g(x) = x / [(n + 1)² + x²]. Derivati i tij është g′(x) = [(n + 1)² − x²] / [(n + 1)² + x²]². Derivati anulohet kur x = n + 1. Funksioni rritet deri në këtë pikë dhe zvogëlohet më pas. Prandaj supₓ∈[0,+∞) x / [(n + 1)² + x²] = (n + 1) / [(n + 1)² + (n + 1)²] = 1 / [2(n + 1)]. Rrjedhimisht supₓ∈[0,+∞) |Rₙ(x)| ≤ 1 / [2(n + 1)]. Meqenëse limₙ→∞ 1 / [2(n + 1)] = 0, përfundojmë se limₙ→∞ supₓ∈[0,+∞) |Rₙ(x)| = 0. Kjo vërteton se mbetja e serisë konvergon njëtrajtësisht drejt zeros. Duke përdorur kriterin e serive alternative dhe vlerësimin uniform të mbetjes, përfundojmë se seria funksionale ∑ₙ₌₁^∞ (−1)ⁿ · x / (n² + x²) konvergon njëtrajtësisht në intervalin [0, +∞), nëse funksioni plotësohet me vlerën zero në x = 0. Në formulimin fillestar, termi për n = 0 dhe x = 0 nuk është i përcaktuar.