Për cilat vlera të x konvergon seria funksionale ∑ₙ₌₁^∞ (x − 3)ⁿ / n?

Hapi 1. Zbatimi i kriterit të Dalamberit Për të studiuar konvergjencën absolute të serisë, zbatojmë kriterin e Dalamberit. Termi i përgjithshëm është aₙ = (x − 3)ⁿ / n. Llogarisim limitin e raportit të vlerave absolute të dy termave të njëpasnjëshëm Dₙ = |aₙ₊₁ / aₙ|. Duke zëvendësuar termat, marrim Dₙ = |[(x − 3)ⁿ⁺¹ / (n + 1)] · [n / (x − 3)ⁿ]|. Pas thjeshtimit Dₙ = |x − 3| · n / (n + 1). Duke kaluar në limit për n → ∞, kemi limₙ→∞ Dₙ = |x − 3| · limₙ→∞ n / (n + 1). Meqenëse limₙ→∞ n / (n + 1) = 1, rezulton limₙ→∞ Dₙ = |x − 3|. Hapi 2. Përcaktimi i intervalit të konvergjencës absolute Sipas kriterit të Dalamberit, seria konvergon absolutisht kur |x − 3| < 1. Zgjidhim pabarazinë −1 < x − 3 < 1. Duke shtuar 3 në të tria anët, marrim 2 < x < 4. Prandaj, seria konvergon absolutisht për 2 < x < 4. Kur |x − 3| > 1, pra për x < 2 ose x > 4, seria divergon sipas kriterit të Dalamberit. Hapi 3. Shqyrtimi i skajeve të intervalit Për |x − 3| = 1, kriteri i Dalamberit nuk jep përfundim. Prandaj, shqyrtojmë veçmas x = 2 dhe x = 4. Rasti i parë: x = 4 Duke zëvendësuar x = 4 në seri, marrim ∑ₙ₌₁^∞ (4 − 3)ⁿ / n = ∑ₙ₌₁^∞ 1 / n. Kjo është seria harmonike, e cila divergon. Prandaj, seria nuk konvergon për x = 4. Rasti i dytë: x = 2 Duke zëvendësuar x = 2 në seri, marrim ∑ₙ₌₁^∞ (2 − 3)ⁿ / n = ∑ₙ₌₁^∞ (−1)ⁿ / n. Kjo është seria harmonike alternative. Meqenëse termat e saj në vlerë absolute zvogëlohen dhe konvergojnë drejt zeros, sipas kriterit të serive alternative, seria konvergon. Megjithatë, ajo nuk konvergon absolutisht, sepse seria e vlerave absolute është seria harmonike, e cila divergon. Prandaj, seria fillestare konvergon në mënyrë të kushtëzuar për x = 2. Seria funksionale ∑ₙ₌₁^∞ (x − 3)ⁿ / n konvergon për 2 ≤ x < 4. Në x = 2, konvergon në mënyrë të kushtëzuar, ndërsa për 2 < x < 4 konvergon absolutisht. Për x = 4 dhe për x < 2 ose x > 4, seria divergon.